Nicht-degenerierte Paarung

Beschreibung

Eine nicht-degenerierte Paarung ist eine nützliche Paarung (Multilineare Algebra). Mit ihr lassen sich Konstruktionen der Tensortheorie eindeutig festlegen.

Definition

Eine Paarung (Multilineare Algebra) $\beta :U\times V\to K$ wird nicht-degeneriert genannt, wenn es für alle $0\ne u\in U$ ein $v\in V$ gibt, sodass $\beta (u,v)\ne 0$ und wenn es für alle $0\ne v\in V$ ein $u\in U$ gibt, sodass $\beta (u,v)\ne 0$.

Das ist äquivalent dazu, dass die Bilineare Abildung in beiden Komponenten injektiv ist.

Natürliche Paarung von Tensorräumen

Für zwei Tensorräume $T_r^{s}U,T_s^{r}U$ erhält man eine natürliche Paarung $T_r^{s}U\times T_s^{r}U\to K$ durch Komposition des Tensorprodukts $T_r^{s}U\times T_s^{r}U\stackrel{\otimes }{\to }{T}_{r+s}^{r+s}U$ mit einer totalen Kontraktion