Gradient

Description

The gradient is a generalisation of a $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ function derivative to a ${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$. To be exact it is a special case of the Total derivative but instead of result being written as a line vector, it is written as a row vector (for historic and application reasons)

Bildet eine Funktion $f$ eine mehrdimensionale Definitionsmenge auf die reellen Zahlen ab, so beschreibt dessen Gradient das Steigungsverhalten an einem bestimmten Punkt.

Genauer gesagt, erhält man einen Vektor, der in die Richtung der größten Steigung (Wertänderung) mit dem Betrag der Änderungsstärke.

Definition

Sei $f=(f_1,\dots ,f_n{)}^T:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ $(gradf)(p)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\end{array}\right)$ bzw. $\nabla f(x_1,...,x_n)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial }{\partial x_n}\end{array}\right)f=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\end{array}\right)$ ist dann der Gradient von $f$. $\nabla$ wird der Nabla-Operator genannt.¹ Ich denke, üblicherweise ist der Gradient ein horizontaler Vektor.

Definition durch äußeres Differential

Man kann den Gradienten durch das Äußeres Differential definieren als: $grad(\varphi )=(d\varphi {)}^{\ast }$

Properties

Curl of the gradient

Der Rotor (Lineare Algebra) des Gradienten ist überall $0$.

Footnotes

1. https://www.youtube.com/watch?v=tIpKfDc295M&t=260s ↩