Gradient

Beschreibung

Der Gradient ist diemehrdimensionale Verallgemeinerung der Ableitung.

Bildet eine Funktion $f$ eine mehrdimensionale Definitionsmenge auf die reellen Zahlen ab, so beschreibt dessen Gradient das Steigungsverhalten an einem bestimmten Punkt.

Genauer gesagt, erhält man einen Vektor, der in die Richtung der größten Steigung (Wertänderung) mit dem Betrag der Änderungsstärke.

Definition

Sei $f=(f_1,\dots ,f_n{)}^T:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ $(gradf)(p)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\end{array}\right)$ bzw. $\nabla f(x_1,...,x_n)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial }{\partial x_n}\end{array}\right)f=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\end{array}\right)$ ist dann der Gradient von $f$. $\nabla$ wird der Nabla-Operator genannt.¹ Ich denke, üblicherweise ist der Gradient ein horizontaler Vektor.

Definition durch äußeres Differential

Man kann den Gradienten durch das Äußeres Differential definieren als: $grad(\varphi )=(d\varphi {)}^{\ast }$

Eigenschaften

Rotor des Gradienten

Der Rotor (Lineare Algebra) des Gradienten ist überall $0$.

Footnotes

1. https://www.youtube.com/watch?v=tIpKfDc295M&t=260s ↩