Alternierende Form

Beschreibung

Die alternierende ist eine klitzekleine Verallgemeinerung der Antisymmetrischen Form. Sie unterscheidet sich von der Antisymmetrische Form nur, wenn der betrachtete Körper die Charakteristik (Ring) $2$ hat.

Ich glaube Herr Hensel reitet nicht so sehr auf dem Unterschied herum. Deshalb ist es möglich, dass im genannten Spezialfall Unstimmigkeitn vorhanden sind.

Q: Wie definiert Herr Hensel alternierende Formen A: Vertauschung zweier beliebiger Parameter wechselt das Vorzeichen.

Definition

Eine Multilineare Form ist dann alternierend, wenn sie eine der drei äquivalenten Bedingungen erfüllt:

• $v_i=v_{i+1}⟹\mu (v_1,...,v_k)=0$
• $v_i=v_j⟹\mu (v_1,...,v_k)=0$
• $v_i$ sind linear abhängig $⟹\mu (v_1,...,v_k)=0$

Raum der alternierenden Formen

Der Raum der Alternierenden Formen $V^k\to \mathbb{R}$ wird mit ${\Lambda }^k(V^{\ast })$ bezeichnet.

Eigenschaften

Ist eine Antisymmetrische Form

Jede alternierende Form ist eine Antisymmetrische Form. Die Umkehrung gilt nur, wenn die Charaktersitik den betrachteten Körpers nicht $2$ ist.

Wenige alternierende Formen

Da Antisymmetrische Formen sehr einfach alles zu null gehen lassen, gibt es eher wenige Antisymmetrische Formen. Gilt beispielsweise $dimV$, so existiert bis auf Skalarmultilikation genau eine Antisymetrische Form in $Al{t}_k(V)$