Beschreibung
Ein Unendlicher Kettenbruch ist ein Kettenbruch mit unendlich vielen Koeffizienten.
Definition:
Eine reelle Zahl hat den Kettenbruch wenn
Bemerkung: Für einen Kettenbruch im strengen Sinne fordert man üblicherweise .
Eigenschaften
Satz: Wann liegen sie im gleichen Orbit der modularen Gruppe?
Die Modulare Gruppe induziert eine Parkettierung der Hyperbolischen Ebene, welche den Farey-Komplex widerspiegelt. Die Decktransformation der Fundamentalgruppe sind generiert durch zwei Matrizen und . Wendet man wiederholt Decktransformationen (im Stile einer Schnittfolge) an, so erhält man einen Punkt des Randes im Unendlichen. In der Hyperbolische Halbebene ist dieser Punkt exakt der Wert des unendlichen Kettenbruch.
Zwei Punkte des Randes liegen genau dann im gleichen Orbit der modularen Gruppe, wenn ihre Enden übereinstimmen. Dies ist recht offensichtlich, da man ihren Anfang durch die oberen beiden Matrizen entfernen kann, wodurch sich die Punkte ineinander überführen lassen. Zwei Punkte des Randes liegen genau dann im gleichen Orbit der modularen Gruppe, wenn ihre Enden übereinstimmen. Dies ist recht offensichtlich, da man ih beiden Matrizen entfernen kann, wodurch sich die Punkte ineinander überführen lassen.
Beweis: Seien reelle Zahlen. Betrachte die Matrizen und . Diese korrespondieren mit den Möbiustransformation und , d.h. der Translation und der Punktspiegelung. Wir beobachten die folgende Eigenschaft \begin{align}P^{-n_{1}}x = [n_{2}, n_{3}, ...]^{-1}\\ QP^{-n_{1}}x = -[n_{2}, n_{3}, ...] \\ P^{n_{2}}QP^{-n_{1}}x = -[n_{3}, n_{4}, ...]^{-1} \\ QP^{n_{2}}QP^{-n_{1}}x = [n_{3}, n_{4}, ...]\end{align}
Wir können also mit diesen Operationen den Anfang der Kettenbrüche entfernen.
Der obenstehende Beweis ist sehr erhellend. Ich sollte öfter darauf zurückgreifen, wenn ich über Themen wie Kettenbruch, Schnittfolge oder Agol Zykel nachdenke.
riesNoneuclideanGeometryContinued1982]]