Affiner Untervektorraum

Beschreibung

Affiner Vektorraum ist ein Untervektorraum, der vom Ursprung verschoben wurde.

Definition

Charakterisierung durch Geraden in ${\mathbb{R}}^n$

Eine Menge $A\subset {\mathbb{R}}^n$ ist ein Affiner Unterraum genau dann, wenn für $x,y\in A$ auch die Gerade $\text{ges}x+\lambda (y-x):\lambda \in \mathbb{R}$ in $A$ enthalten ist.

Eigenschaften

Eindeutigkeit der Zerlegung

Ist $A\subset {\mathbb{R}}^n$ ein affiner Unterraum, so gibt es genau einen Untervektorraum $V\subset R^n$ und es gibt ein $p\in {\mathbb{R}}^n$, sodass $A=p+V$. Insbesondere gibt es nur ein einziges $p$, sodass $p$ senkrecht auf $A$ steht.

Parallelität von zwei Untervektorräumen

Zwei Vektorräume $p+V,q+W$ sind genau dann Parallel, d..h ihr Hausdorff-Abstand ist endlich, wenn $V=W$.