Hensel - Riemannsche Geometrie

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Themen

Riemannsche Mannigfaltigkeit, Metrik und Zusammenhang (4/11)

Zu Beginn werden Riemannsche Mannigfaltigkeit, unser primäres Ziel zum Studieren definiert. Hierfür benötigen wir eine Riemannsche Metrik oder ein Levi-Cevita-Zusammenhang. Die beiden Sachen stehen durch die Koszul-Formel in Verbindung.

Gradient und Hessesche (4/11)

Wir definieren eine reellwertige Funktion auf einer Mannigfaltigkeit. Dank der Riemannschen Metrik können wir nun den Gradienten und die Hessesche verallgemeinern.

Hyperbolische Geometrie (3/11)

Die Hyperbolische Halbebene ist ein Beispiel einer Mannigfaltigkeit. Wie wir später lernten, ist sie die eindeutige vollständige, einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit mit konstanter Krümmung $-1$. Wir klassifizierten Isometrien der Hyperbolischen Geometrie als Möbiustransformationen.

Isometrien (4/11)

Wir definierten Isometrien als Funktionen, die die Riemannsche Metrik erhalten. Isometrien tauchen die ganze Zeit auf. Ich muss mal schauen, ob wir jemals eine Aufgabe spezifisch dazu hatten.

Geodätische & Exponential (6/11)

Wir definierten Geodätische als die Kurven, ohne Krümmung. Wir stellten fest, dass längenminimierende Kurven Geodätische sind und dass in total normalen Umgebungen um einen Punkt $p$ immer eine eindeutige längenminimierende Kurve zu $p$ existiert. In total normalen Umgebung ist des weiteren das Exponential (Geodätische) ein Diffeomorphismus. Ich lernte das Gausssches Lemma, das besagt, dass Geodätische immer senkrecht aus Kugeln austreten.

Nord-Süd-Dynamik & Ping-Pong (4/11)

Wir lassen eine Gruppe durch Translation entlang zweier Geodätischer auf der Poincaré Scheibe wirken. Anhand der Nord-Süd-Dynamik sind die Bedingungen des Ping-Pong Lemma erfüllt, d.h. die Gruppe ist frei durch die Translationen erzeugt.

Da dies nie in Übungen behandelt wurde, ist es wahrscheinlich nicht so wichtig.

Krümmungen (5/11)

Wie führten viele verschiedene Definitionen von Krümmungen ein.

Jacobi-Felder (6/11)

Von großer Bedeutung ist hierbei das Jacobi-Feld, das das Entwicklungsverhalten naheliegender Geodätischen beschreibt. Es gibt damit eine wichtige Charakterisierung von positiver Krümmung in Räumen.

Variationen der Energie (7/11)

Wir weisen einer Kurve eine Energie (Kurven) zu. Kurven mit (lokal) minimierender Energie sind hierbei Geodätische. Indem wir zeigen, dass eine Kurve durch Verschiebung entlang eines Vektorfeldes an Energie verliert, lässt sich zeigen, dass die Ursprungskurve keine Geodätische war.

Konjugierte Punkte (6/11)

Verlassen zwei naheliegende Geodätischen einen Punkt und treffen irgendwann wieder aufeinander, so bezeichnen wir den Schnittpunkt als Konjugierter Punkt. Spätestens ab diesem Punkt hören Geodätische auf, längenminimierend zu sein. Sie hören des weiteren auf längenminimierend zu sein, wenn zwei es Geodätische zu dem Punkt gibt.

Vergleichssätze (5/11)

Haben wir eine Mannigfaltigkeit die überall negativer gekrümmt ist als eine Modellmannigfaltigkeit, können wir spezielle Aussagen über das Verhalten der Jacobi-Felder treffen. Der wichtigste Satz ist der Vergleichssatz von Rauch aber es gibt auch Längenvergleich, Dreiecksvergleiche und dazu bezogen Vergleichsscharnier.

Aus dem dritten Dreiecksvergleich ergibt sich eine metrische Charakterisierung von Krümmung. Dies ergibt die Definition des CAT(k) Raum.

Transvektionen & Killing Felder (0/11)

Ich habe keine Ahnung, was ein Killing Feld ist. Das muss ich mir dringend noch ansehen..

Sonstiges

Hier stecke ich alle Themen rein, die mal angesprochen wurden, von denen ich aber nicht ausgehe, dass sie klausurrelevant sind. (Da es viele bessere Alternativen gibt).

• Hessian