Separation of variables

Description

Seperation of variables is a tool to solve an Ordinary differential equation of order $1$ and dimensionality $1$.

Definition

Seien $I,U\subseteq \mathbb{R}$ Definitionsbereiche, $(t_0,x_0)\in I\times U$ der Startzustand, $f\in C(I,\mathbb{R})$ und $g\in C(U,\mathbb{R})$ seien stetig Hat eine Explicit differential equation die Form: x' = f(t)g(x) \tag{1} und das Initial value problem $x(t_0)=x_0$ Dann hat die Differentialgleichung

1. im Fall $h(x_0)=0$ mindestens eine Lösung, nämlich $\lambda :\begin{array}{rcl}I& \to & \mathbb{R}\\ t& \mapsto & x_0\end{array}$
2. im Fall $h(x_0)\ne 0$ lokal eine eindeutige Lösung: D.h. Es gibt ein offenes Intervall $I^{\prime }\subseteq I$ mit $t_0\in I^{\prime }$, sodass $(1)$ genau eine Lösung besitzt. $\lambda$ bestimmt sich aus der folgenden Gleichung durch Auflösen nach $\lambda (t)$ $\underset{x_0}{\overset{\lambda (t)}{\int }}\frac{1}{g(\tau )}d\tau =\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(\xi )d\xi$ Hier erkennt man, dass die Lösung für $f(t),g(t)=0$ nicht definiert ist. Daher darf das Intervall $I^{\prime }$ keine Nullstellen enthalten.

Der Grund, warum der zweite Fall nicht eindeutig ist, ist dass im Fall $x^{\prime }=0$ Lösungskurven sich aufteilen können. (Das ist sehr komisch aber im Beispiel genauer erläutert.) Aus dem gleichen Grund, ist im ersten Fall die Lösung nur auf einer Umgebung eindeutig, in der $x^{\prime }(t)\ne 0$ für $t\in I^{\prime }$.

Obacht: Die Lösung, die man oben herausbekommt, ist nur auf dem Intervall $I^{\prime }$ definiert. Da wir durch Trennen der Variablen nicht erfahren, was das Intervall $I^{\prime }$ ist, müssen wir die Lösung nochmal überprüfen.

Sind $f$ und $g$ glatte Funktionen, dann ist im ersten Fall $h(x_0)=0$ die Lösung sogar eindeutig. (Siehe Das Satz von Picard-Lindelöf)

Examples

Example with non-unique solution

Die Autonomous ODE $x^{\prime }=x^{2/3}$ hat zum Initial value problem $x(0)=0$ auf jedem Intervall $I^{\prime }\subseteq I$ mit $t_0\in I^{\prime }$ die beiden maximalen Lösungen ${\lambda }_1(t)=0$ und ${\lambda }_2(t)=(t/3{)}^3$. Das liegt daran, dass $x^{2/3}$ bei $0$ eine unendlich große Steigung hat.