Algebraic element

Description

Definition

Sei $L|K$ eine Field extension. Ein Element $\alpha \in L$ heißt algebraisch über $K$, wenn ein Polynom $f\ne 0$ in $K[x]$ mit der Eigenschaft existiert, dass $\alpha$ eine Nullstelle von $f$ ist. Gibt es ein solches Polynom nicht, dann nennt man $\alpha$ transzendent

Characterisation (Gleichheit von Erzeugtem Ring und Körper)

Ein Element $a\in L$ ist genau dann algebraisch, wenn der Generated subring und Erzeugter Zwischenkörper gleich sind, d.h.: $K[a]=K(a)$ Das ist genau dann der Fall, wenn $K[a]$ ein Körper ist

Examples

$e$ und $\pi$

$e$ und $\pi$ sind transzendent im Ring der Rationalen Zahlen. In $\mathbb{R}$ lassen sie sich als Nullstelle schreiben.