Beschreibung
In der Mathematik beschreibt Dualität eine Natürliche aber überraschende Korrespondenz zwischen zwei Sachen.
Für einen Vektor interpretieren wir als jdie Funktion, die misst, wie stark ein Vektor in Richtung geht. Es gibt somit eine bijektige Zuordnung zwischen dem Vektor und der Funktion, die die Stärke zu misst: . Nach einigen weiteren Erkenntnissen beobachten wir einige weitere Ähnlichkeiten und so beginnen wir diesen Zusammenhang mit Dualität zu bezeichnen. Beim Betrachten eines Vektors und den Skalarprodukten für einen beliebigen anderen Vektor beobachten wir, dass nur von
D.h. das Duale eines Vektors ist die Lineare Abbildung, die der Vektor kodiert. Das Duale einer Linearen Abbildung nach ist der Vektor, der die Abbildung kodiert.
Definition
Sei ein Vektorraum. Wir definieren den dualen Raum Also alle Lineare Abbildung von zu
Eigenschaften
Skalarprodukt als Zeilenvektor
Für zwei Vektoren , beobachten wir:
Der Zeilenvektor kann also identifiziert werden mit der Abbildung . Durch Transposition können wir zwischen Vektoren und Funktionen hin und her wechseln.
Bedeutung des Zeilenvektors
Sei ein Zeilenvektor. Multipliziert man mit dem Einheitsvektor erhält man die Zahl . ist also wie eine Matrix eine Lineare Abbildung, die bestimmt, auf welche rellen Zahlen die Einheitsvektoren abgebildet werden.