Volumenform

Beschreibung

Die Volumenform ist ein Objekt, das man aus einer Alternierende Form erhält, welche das Volumen eines Spats definiert. Die Volumenform kann genutzt werden, um das Hypervolumen einer Umgebung oder einer Mannigfaltigkeit zu berechnen.

Definition

Charakterisierung durch gewünschte Eigenschaften

Das Volumen $vo{l}_n(v_1,...,v_n)$ eines Vektorspats ist durch folgende Eigenschaften eindeutig definiert:

1. $vo{l}_n$ ist symmetrisch, d.h. $vo{l}_n(v_{sigma(1)},...{,}_{sigma(n)})=vo{l}_n(v_1,...,v_n)$
2. Invariant unter Scherung, d.h. $vo{l}_n(v_1,...,v_i+w,...,v_n)=vo{l}_n(v_1,...,v_n)$
3. Positiv homogen unter Streckung, d.h. $vo{l}_n(v_1,...,a{v}_i,...,v_i,...,v_n)=|a|\cdot vo{l}_n(v_1,...,v_n)$
4. Normiert durch $vo{l}_n(e_1,...,e_n)=1$ wenn man die Vektorraumbasis einsetzt,

Für eine beliebige Alternierende Form $\alpha$ erfüllt $|\alpha |$ die ersten $3$ Eigenschaften.

Eigenschaften

Existenz einer Volumenform

Nur wenn eine Mannigfaltigkeit orientierbar ist, existiert eine nirgendwo verschwindende Volumenform.

Dies kann genutzt werden, um Orientierbarkeit durch Volumen zu charakterisieren.

Berechnung von Volumen

Mit einer Volumenform $\omega$ lässt sich ein Volumen einer Teilmenge $U\subseteq M$ berechnen: ${\mu }_{\omega }(U)={\int }_U\omega$

Beispiele

Für viele Spezielle Mannigfaltigkeiten existieren natürliche Wahlen einer Volumenform.

Volumenform einer Lie Gruppe

Auf einer Lie Gruppe kann eine Volumenform durch Translation auf die ganze Mannigfaltigkeit propagiert werden. Diese Volumenform ist eindeutig bis auf einen Skalar. Macht man aus der Volumenform ein Maß, so wird dieses als das Haar-Maß bezeichnet.

Die Existenz einer Volumenform hat das nützliche Korollar, dass alle Lie-Gruppen orientierbar sind.

Volumenform einer Riemannsche Mannigfaltigkeit

Seien $\frac{\partial }{\partial x^1},...,\frac{\partial }{\partial x^n}$ orthonormale Koordinaten einer Kartenumgebung. Dann ist $d{x}^1\wedge ...\wedge d{x}^n$ eine lokale Volumenform. Durch eine Glatte Zerlegung der Eins erhalten wir eine Volumenform auf der ganzen Mannigflatigkeit.