Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Beschreibung

Die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen sind 2 partielle Differentialgleichungen, welche eine Analytische Funktion charakterisieren.

Herleitung

Interpretiert man eine komplexe Funktion $f=u+iv$ als eine Funktion, die eine Ebene auf eine andere Ebene abbildet, so beschreibt die Ableitung dieser Funktion das Lokale Verhalten in Form einer linearen Abbildung.

Da eine analytische Funktion infinitessimale Figuren auf ähnliche infinitessimale Figuren abbildet, muss die lokale lineare Abbildung eine Drehstreckung sein.

Somit ist die Ableitung durch eine Matrix $f^{\prime }(x,y)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& -a\end{array}\right)$ beschreibbar. Bekanntermaßen berechnet sich die Ableitung mit der Jakobi-Matrix: $f^{\prime }(x,y)=\left(\begin{array}{cc}{\partial }_{x}u& {\partial }_{y}u\\ {\partial }_{y}v& {\partial }_{y}v\end{array}\right)$

Man kann damit folgende Gleichungen aufstellen: \begin{align} \partial_x u &= \partial_y v \\ \partial_y v &= -\partial_y u \end{align}

Da die Ableitung nur eine Drehstreckung ist, gibt jede Richtungsableitung die gleiche Drehstreckung. Leitet man also in Richtung der reellen Achse ab, so beschreibt die erhaltene komplexe Zahl die Ableitung vollständig: $f^{\prime }={\partial }_{x}f={\partial }_{x}u+i{\partial }_{x}v$ Das Substituieren der oberen Gleichungen in die jetzige ergibt die zweite Gleichung: $f^{\prime }={\partial }_{y}v-i{\partial }_{y}u=-i{\partial }_{y}f$

Variationen

Im oberen Fall wurden der Effekt einer Analytische Funktion in karthesischen Koordinaten beschrieben. Das soll uns aber nicht aufhalten, andere Formen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen zu suchen.

Kart.-Polar Form

Sei eine analytische Funktion $f(x+iy)=R(x+iy)e^{\Psi (x+ix)}$ Dann gilt \begin{align} \partial_x R &= R \partial_y \Psi \\ \partial_y R &= -R \partial_x \Psi\end{align}

Das erhält man aus den oberen beiden Gleichungen: $f^{\prime }={\partial }_{x}f={\partial }_{x}R{e}^{i\Psi }+iR{e}^{i\Psi }{\partial }_x\Psi$ $f^{\prime }=-i{\partial }_{y}f=-i{\partial }_{y}R{e}^{i\Psi }+R{e}^{i\Psi }{\partial }_y\Psi$ Setzt man Real und Imaginärteile der Gleichung gleich, so erhält man obigen Ausdruck.

Polar Form

Macht man ein wenig Geometrie, erhält man eine kompakte Form der Gleichungen: ${\partial }_{\theta }f=ir{\partial }_{r}f$ Grob bedeutet die Gleichung, die Bewegungsstrecke bei einer winzigen kreisbogenförmige Veränderung $\epsilon$ $(\theta )$ senkrecht und $r$ mal so lang ist wie die Bewegungsstrecke bei einer winzigen, radialen Veränderung $\epsilon$ $(r)$. Das $r$ mal kommt daher, dass sich die infinitesimale Winkeländerung ${\partial }_{\theta }$ durch das Produkt aus Kreissbogenlänge und Radius $\epsilon r$ berechnet. Das $r$ steht sozusagen bereits auf beiden Seiten der Gleichung

Polar-Kart. Form

Setzt man in die obere Gleichung $f=u+v$ ein, erhält man die Gleichungen: \begin{align} \partial_\theta v &= r \partial_r u \\ \partial_\theta u &= -r \partial_r v\end{align}

Polar-Polar Form

Setzt man in die obere Gleichung $f=R{e}^{i\Psi }$ ein, erhält man die Gleichungen: \begin{align} \partial_\theta R &= -rR \partial_r \Psi \\ R\partial_\theta \Psi &= r \partial_r R\end{align}

edhamVisualComplexAnalysis1997]]