Irreduzibles Element

Beschreibung

Die Irreduziblen Elemente sind die Analogons der Primzahlen für allgemeine Ringe.

Definition

Sei $R$ ein Kommutativer Ring. Ein Element $p\in R$ wird irreduzibel genannt, wenn $p$ weder eine Einheit noch Null ist und die Implikation: $p=ab⟹a\in R^{\times }\text{ oder }b\in R^{\times }$ Für alle $a,b\in R$ erfüllt ist. Alle anderen Elemente (außer Null) werden als reduzibel bezeichnet.[^1]

In den Rationalen Zahlen sind alle Zahlen irreduzibel, da alle Zahlen Einheiten sind. Das gleiche Argument gilt natürlich auch bei anderen Körpern. Irreduzible Elemente finden vor allem bei Polynomring Einsatz. Dort sind sie genau das Irreduzibles Polynom.

Eigenschaften

Gemeinsame Eigenschaften

• Assoziierte Element sind gemeinsam irreduzibel oder gemeinsam reduzibel
• Assoziierte Element sind gemeinsam Primelemente oder gemeinsam keine Primelemente

Übung

Zth Klausur 2019 Aufgabe 7

a)

Sei $|\cdot |$ die komplexe Norm, die man auf $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ definieren kann. Die komplexe Norm erfüllt die Eigenschaft $|ab|=|a||b|$. Alle Elemente $\alpha \in \mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ haben $|\alpha |\ge 1$ für $\alpha \ne 0$. Eine Einheit muss die Eigenschaft $ab=1$ und damit $|ab|=|a||b|=1$ erfüllen. Für $a$ mit $|a|>1$ kann es kein Inverses geben. Damit sind $\{-1,1\}$ die einzigen Einheiten.

Angenommen, $2$ wäre reduzibel, dann gäbe es eine Zwelegung von $2=ab$, wobei $a,b\in \mathbb{Z}(\sqrt{3})$ keine Einheiten sind. Für Elemente, die keine Einheiten gilt aber $|a|\ge \sqrt{3}>1$ oder $|a|\ge 2$ Ein Produkt von zwei Nicht-Einheiten $ab$ hat also immer einen größeren Betrag als $2$.

c)

Das Ideal $(\sqrt{-3},2)$ enthält $(2)$ enthält aber nicht $1$ und ist damit ein größeres Ideal, das nicht das $1$-Ideal ist.

Zth Klausur 2019 Aufgabe 8

b)

$p|p^2=q_1{q}_2$, d.h. $p\mid q_1$ (o.E.) In dem Fall muss aber $q_1/p$ eine Einheit sein. Wenn nicht, dann würde $q_1$ in zwei Nicht-Einheiten zerfallen, was der Irreduzibilität widerspricht.

Wir befinden uns in einem Integritätsbereich, also gilt die Kürzungsregel. Teile $p$ auf beiden Seiten und erhalte $p=\frac{q_1}{p}{q}_2$ $p\mid p=\frac{q_1}{p}{q}_2⟹p\mid \frac{q_1}{p}$ oder $p\mid q_2$

• Fall 1: $q_1$ zerfällt in $\frac{q_1}{p^2}p\ast p$, weshalb es nicht irreduzibel sein kann.
• Fall 2: $p\mid q_2$, welcher durch Ausschlussprinzip übrig bleibt.

Da $q_1,q_2$ irreduzibel sind, gibt es für sie eine Zerlegung zu $p$ und einer weiteren Einheit: $q_1=p{e}_1,q_2=p{e}_2$ Damit gilt $q_1=q_2{e}_1{e}_2^{-1}$, womit sie assoziiert sind.

]: Gerkmann - Definition 10.3