Continuous function

Description

Continuouty is a fundamental concept in topology and real analysis. It is hard to pin down as is has many different definitions and characterisations which all depend on how general the space is.

Definition durch Konvergenz

Seien $M\subseteq (X,\mathcal{T}),N\subseteq (X,\mathcal{S})$ Mengen von Topologischen Räumen Eine Funktion $f:M\to N$ ist stetig, wenn für eine konvergente Folge $(a_i)$ mit $a_i\to a$ gilt $f(a_i)\to f(a)$

Definition durch Offene Mengen

Seien $M\subseteq (X,\mathcal{T}),N\subseteq (X,\mathcal{S})$ Mengen von Topologischen Räumen Eine Funktion $f:M\to N$ ist stetig, wenn für jede in $N$ offene Menge $U\subseteq N$ das Urbild $f^{-1}(U)$ offen in $M$ ist.

Properties

Erhält Kompaktheit

Sei $M$ eine kompakte Menge und $f$ stetig. Dann ist $f(M)$ kompakt.

Stetigkeit von Produktabbildungen

Eine Abbildung $f:Z\times X\times Y$ ist stetig, wenn die beiden Komponenten $f_1$, $f_2$ stetig sind.

Integrability

Every continuous function on a bounded set is Integrierbare Funktion.

Examples

Nicht-stetige Abbildung

Die Abbildung $h_t(x):=x^3+tx$ ist nicht stetig in $t\mapsto h_t$. (Vielleicht ist hier stetig im Sinne der Whitney-Topologie gemeint.)