Lokale Einparametrige Gruppe

Beschreibung

Die Lokale Einparametrige Gruppe ist eine Abschwächung der Einparametrige Gruppe. Sie erfordert nicht, dass ganz $\mathbb{R}$ auf einer Menge von Diffeomorphismen wirkt. Sie erlaubt auch das Wirken von Intervallen, was es streng genommen nicht mehr zu einer Gruppe macht.

Definition

Eine Familie von lokalen Diffeomorphismen $({\theta }_t),i\in I$ wobei $0\in I$, welches ${\theta }_t\circ {\theta }_{t^{\prime }}={\theta }_{t+t^{\prime }}$ für $t,t^{\prime },t+t^{\prime }\in I$ erfüllt wird eine Lokale Einparametrige Gruppe genannt.

Durch Vektorfelder Induzierte Gruppen

Sei $X$ ein glattes Vektorfeld (Vektorraum). Dann gibt es für jeden Punkt $x$ eine kleine, glatte Integralkurve $c_x(t)$ mit Fußpunkt $c_x(0)=x$. Ändert man die Perspektive ${\theta }_t(x)=c_x(t)$ so bilden die ${\theta }_t$ eine lokale einparametrige Gruppe

lit_gallotRiemannianGeometry2004