Separable element

Description

A polynomial (i.e. an element of a Polynomring) is called seperable if it

Definition

Sei $L|K$ eine Field extension. EIn Element $\alpha \in L$ wird separabel genannt, wenn es Algebraisch über $K$ ist und sein Minimal polynomial $f\in K[x]$ separabel ist. Field extension, bei der jedes Element sparabel ist, wird auch separabel genannt.

Properties

Transferrability of seperability

Ist $L|K$ eine Field extension, $\alpha \in K$ ein über $K$ separables Element und $M$ ein Zwischenkörper von $L|K$, dann ist $\alpha$ auch separabel über $M$.

Examples

Fields of characteristic $0$ or finite fields

In fields of upper kind all elements are separable.

Non-example

Consider the field extension ${\mathbb{F}}_p(t)\mid {\mathbb{F}}_p(t^p)$. The element $t$ has the minimal polynomial $x^p-t^p$ but the factorisation $(x-t{)}^p$ over ${\mathbb{F}}_p(t)$.