Multilineare Form

Beschreibung

Lineare Formen sind Verallgemeinerungen von Lineare Abbildung in dem Sinne, dass sie mehr als einen Parameter entgegennehmen und Spezialfälle von Multilineare Abbildung in dem Sinne, dass ihre Parameter gleich sind.

Definition

Eine Multilineare Abbildung $V\times ...\times V\to W$, die $k$-fach aus dem gleichen Vektorraum abbildet, wird $k$-lineare Form genannt.

Raum der $k$-linearen Formen

Die Menge aller $k$-Linearen Formen von Vektorräumen $V$ in Vektorräume $W$ wird mit $Mul{t}_k(V;W)$ bezeichnet.

Eigenschaften

Charakterisierung durch Tensorprodukt

Mit dem Tensorprodukt erhält man einen Isomorphismus zwischen $(V^{\ast })k$ und den Multilinearen Abbildungen $V\times ...\times V\to \mathbb{R}$. Eine Multilineare Abbildung korrespondiert mit dem Tensor ${\sum }_{i_1,..,i_k}h(e_{i_1},...,e_{i_k})e_{i_1}\otimes ...\otimes e_{i_k}$

Spezielles Produkt auf Tensorräumen

Es gibt ein Produkt $V^{\otimes n}\times V^{\otimes m}\to V^{\otimes n+m}$ das mit dem Produkt $\varphi \cdot \psi$ von zwei Multilinearen Formen korrespondiert.

Beispiele

Symmetrische Lineare Formen

Siehe Symmetrische Form

Alternierende Lineare Formen

Siehe Alternierende Form

Antisymmetrische Lineare Formen

Siehe Antisymmetrische Form