Essential singularity

Beschreibung

Essential singularities are the third kind of Isolated singularity besides Hebbare Singularität and Pole. They are interesting because they seem to be very intrinsic to the function studied as they can not be removed by themselves or by multiplying another function.

Definition

Eine Isolated singularity $a$ heißt eine Wesentliche Singularität von der analytischen Funktion $f$, wenn der Hauptteil von $f$ in $a$ kein Polynom in der Variablen $\frac{1}{z-a}$, also $c_{-k}\ne 0$ für unendlich viele $k\in \mathbb{N}$ ist.**

Das heißt, der Hauptteil ist so was wie ein unendlich langes Polynom zur Variable $\frac{1}{z-a}$

Charakterisierung durch Satz von Casorati-Weierstraß

Sei $U\subseteq \mathbb{C}$ eine offene Menge, $f:U\to \mathbb{C}$ analytisch und $a\in \mathbb{C}$ eine Isolated singularity von $f$.

$a$ ist genau dann eine Wesentliche Singularität von $f$, wenn einer der folgenden Bedingungen erfüllt

• für jedes $r>0$: $f(\dot{K}(a,r)\cap U)$ eine dichte Teilmenge von $\mathbb{C}$ Ich konnte mir anfangs nicht Vorstellen, warum das Bild eine dichte Menge von $\mathbb{C}$ ist und nicht einfach gleich $\mathbb{C}$. Was gibt es für eine interessante Menge, die dicht in $\mathbb{C}$ liegt. Es stellt sich heraus, $\mathbb{C}\backslash \{0\}$ ist genau so eine Menge.[^2]
• es zwei Folgen $(w_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ und $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $U$ gibt mit $a=\underset{n\to \infty }{\lim }{w}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n$, sodass $\underset{n\to \infty }{\lim }f(w_n)\ne \underset{n\to \infty }{\lim }f(z_n)$ Beachte: Bei $\frac{1}{z}$ gibt es ebenfalls twei Folgen, die nicht gegen den gleichen Wert konvergieren. Aber da geht die Beträge gegen unendlich, daher zählt es anscheinend nicht.

Note: The latter can be used to show that a singularity is essential. Show that the limit of two sequences yields different values.

Charakterisierung durch Großer Satz von Picard

Sei $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ eine offene Menge, $f:U\backslash \{a\}\to \mathbb{C}$ analytisch und $a\in \mathbb{C}$ eine wesentliche Singularität von $f$. Dann gilt für jede punktierte Umgebung $V$ von $a$:

• $f(V)=\mathbb{C}$ oder
• Es gibt ein $b=b(f,V)\in \mathbb{C}$ mit $\mathbb{C}\backslash \{b\}$

Mit Ausnahme von höchstens einer komplexen Zahl $b(f,V)$ wird jedes andere $c\in \mathbb{C}$ von $f{|}_V$ unendlich oft als Funktionswert angenommen. D.h. $|\{z\in V:f(z)=c\}|=\infty$

Das sieht mir nach einer besseren Version des Satzes von Casorati.Weierstraß aus

Examples

Funktion $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$

Die Funktion $f(z)=e^{\frac{1}{z}}$ hat eine wesentliche Singularität bei 0. Das erkennt man gut, wenn man die Exponentialfunktion in die Potenzreihendarstellung umwandelt und $\frac{1}{z}$ einsetzt: $f(z)=e^{\frac{1}{z}}={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\frac{1}{z^n}={\sum }_{n=-\infty }^0\frac{1}{(-n)!}{z}^n$ Im Bild unten erkennt man gut, warum das Bild eines punktierten offenen Kreises dicht in $\mathbb{C}$ liegt.

Der Farbton entspricht dem komplexen Argument des Funktionswertes, während die Helligkeit seinen Betrag darstellt. Man erkennt: Nähert man sich von unten der Singularität, werden alle komplexen Argumente durchlaufen. Nähert man sich von rechts wird der Betrag unendlich groß. Nähert man sich von links geht der Betrag gegen 0.

Aufgrund der Stetigkeit sind alle dazwischenliegenden Werte ebenfalls im Bild enthalten. Der einzige Wert, der nicht im Bild ist, ist 0, da dieser genau durch die Annäherung von der linken Seite erlangt werden kann.