Newton-Cotes-Formeln

Beschreibung

Newton-Cotes-Formeln sind genau die interpolierenden Quadraturformeln, die man für äquidistante $x_0,...,x_n$ erhält.

Definition

Newton-Cotes-Formeln sind genau die interpolierenden Quadraturformeln, die man für äquidistante $x_0,...,x_n$ erhält.

Abgeschlossenheit

Eine Newton-Cote-Formel heißt abgeschlossen, wenn $x_i:=a+ih,h:=\frac{b-a}{h},i=0,...,n$

Wenn ich das richtig verstehe ist aber jede NC-Formel abgeschlossen?

Schrittweise

Das $h$ von oben wird Schrittweite genannt

Charakterisierung

Explizite Form abgeschlossener Newton-Cotes-Formeln

ist eine Newton-Cotes-Formel abgeschlossen, hat sie die Form: ${\sigma }_i={\sigma }_{i,n}=\frac{1}{n}{\int }_0^n{L}_i(s)ds$ mit dem Lagrangesches Basispolynom $L_i$

Q: Berechnung der Gewichte der Newton-Cotes Formel A: ${\sigma }_i={\sigma }_{i,n}=\frac{1}{n}{\int }_0^n{L}_i(s)ds$

Eigenschaften

Symmetrie der Expliziten Form

Es gilt ${\sigma }_i={\sigma }_{n-i}$

Genauigkeit

Für eine gerade Zahl von Stützpunkten $n\in \mathbb{N}$ hat die Newton-Cotes-Formel den Genauigkeitsgrad $n+1$

Beispiele

Für eine wenige Zahl von Punkten $x_0,...,x_n$ lässt sich die Newton-Cotes-Formel einfach explizit angeben.

Rechteckregel ($n=0$)

Hat man nur einen Punkt $x_0$, ist die Formel nicht abgeschlossen, da man nicht das ganze Intervall $[a,b]$ überbrückt. Deshalb können wir hier nicht die ${\sigma }_i$ von oben verwenden.

Stattdessen definieren wir die Rechteckregel: $I_0=(b-a)f(x_0)$

Fehlerabschätzung

Für $x_0=a$ hat die Rechteckregel einen Fehler von: ${\int }_a^{b}f(x)dx-I_0(f)=\frac{(b-a{)}^2}{2}{f}^{\prime }(\tau )$ für ein $\tau \in [a,b]$

Q: Fehlerabschätzung der Rechteckregel: A: ${\int }_a^{b}f(x)dx-I_0(f)=\frac{(b-a{)}^2}{2}{f}^{\prime }(\tau )$ für ein $\tau \in [a,b]$

Mittelpunktregel ($n=0$)

Wählen wir $x_0=\frac{a+b}{2}$ nennt man die Rechteckregel die Mittelpunktregel.

Q: Mittelpunktregel A: (I_0 = (b-a)f(\frac{a+b}{2}))

Genaugkeit

Rechteckregeln haben den Genauigkeitsgrad $1$ genau dann, wenn sie die Mittelpunktregel sind. Sonst haben die Genauigkeitsgrad $0$.

Trapezregel

Die abgeschlossene Newton-Cotes-Regel it $n=1$ heißt Trapezregel: \begin{align}I_1(f) &= \int_a^b\klam{f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)}dx \\ &= (b-a)\klam{\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)}\end{align}

Q: Trapezregel A: (I_1(f) = (b-a)\left(\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)\right))

Fehlerabschätzung

Die Trapezregel hat einen Fehler von: ${\int }_a^{b}f(x)dx-I_1(f)=-\frac{(b-a{)}^3}{12}{f}^{\prime \prime }(\tau )=-\frac{h^3}{12}{f}^{\prime \prime }(\tau )$ für ein $\tau \in [a,b]$

Q: Fehlerabschätzung der Trapezregel A: ${\int }_a^{b}f(x)dx-I_1(f)=-\frac{(b-a{)}^3}{12}{f}^{\prime \prime }(\tau )=-\frac{h^3}{12}{f}^{\prime \prime }(\tau )$ für ein $\tau \in [a,b]$

Simpsonregel ($n=2$)

Bei der Simpsonregel nähern wir die Funktion durch eine Parabel heraus und integrieren die Parabel. Nach Einsetzen in die obere Formel erhalten wir $I_2(f)=(b-a)\text{klam}\frac{1}{6}f(a)+\frac{2}{3}f\text{klam}\frac{a+b}{2}+\frac{1}{6}f(b)$

Q: Simpsonregel A: (I_2(f) = (b-a)\klam{\frac{1}{6}f(a)+\frac{2}{3}f\klam{\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{6}f(b)})

Fehlerabschätzung

Die Simpsonregel hat einen Fehler von: ${\int }_a^{b}f(x)dx-I_2(f)=-\frac{(b-a{)}^5}{2880}{f}^{(4)}(\tau )=\frac{h^5}{90}{f}^{(4)}(\tau )$ für ein $\tau \in [a,b]$

Abschätzungen von höhere Grad

Abschätzungen von höherem Grad bringen im Allgemeinen keine Verbesserung der Genauigkeit. Sie werden daher kaum verwendet. Bei Werten $\ge 8$ treten auch negative Gewichte auf. Das folgt zu ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=0}^n|{\sigma }_{i,n}|=\infty$