Attractive solution

Description

Eine Lösung einer Differentialgleichung ist attraktiv wenn die Lösungen von kleine Änderungen des Startwert trotzdem gegen den gleichen Wert konvergieren.

Definition

Sei $\mu :]a,\infty [\to {\mathbb{K}}^d$ eine Lösung der DGL $x^{\prime }=f(t,x)$. $\mu$ ist attraktiv, wenn es für alle $\tau >a\in \mathbb{R}$ ein $\delta (\epsilon ,\tau )>0$ gibt, mit: Zu jedem Anfangswert $(\tau ,\xi )$ mit $||\xi -\mu (t)||<\delta$ existiert die maximale Lösung ${\lambda }_{(\tau ,\xi )}(t)$ und erfüllt das Initial value problem: $x^{\prime }=f(t,x),x(\tau )=\xi$ für alle $t\ge \tau$ und es gilt $\underset{t\to \infty }{\lim }||{\lambda }_{(\tau ,\xi )}(t)-\mu (t)||=0$

i.e. for each time point, there is a tube such that all solutions approach $\mu$ as time goes on. (But they don’t need to stay in a tube!!!)

Weitere Konzepte

Definition Einzugsbereich

Die Menge, aller Startwerte, deren Lösungen gegen den gleichen Wert wie $\mu$ konvergieren nennt man den Einzugsbereich von $\mu$. $\{(\tau ,\xi )\in V:||{\lambda }_{(\tau ,\xi )}(t)-\mu (t)||=0\}$

Properties

Theorem Attractive implies stability in scalar ODEs

Is $x^{\prime }=f(t,x)$ a scalar ODE with a attractive solution $\mu$, then the solution is a Stable solution.

Examples

Attractive non-stable solution attractive but not stable.
Examine the following Phase portrait. The point $(1,0)$ is asymptotic, since all points will converge to it. But it is not stable. Moving slightly up will cause flow to do once around the circle.

There is an example of a solution, which is

Linear system of ODEs linear, i.e. of the form $x^{\prime }=A(t)\cdot x(t)+g(t)$ then attractivity implies stability.

If a system of ODEs is

The same also holds for scalar systems.