Kettenbruchtransformation

Beschreibung

Die Kettenbruchtransformation ist ein einfaches Beispiel eines Dynamisches System, mit einem faszinierenden Bezug zum Kettenbruch. Dessen Definition spiegelt zudem die Funktionsweise eines Einseitiger Shift wider.

Einfache Definition

Die Kettenbruchtransformation ist eine Abbildung $T:[0,1]\to [0,1]$, definiert durch $x\mapsto \frac{1}{x}-\lfloor \frac{1}{x}\rfloor \text{, bzw. }x=[n_1,n_2...]\mapsto [n_2,...]$

Wollen wir den Zusammenhang zwischen modularer Gruppe und Kettenbrüchen verallgemeinern, ist diese Definition hier sinnvoll

Definition (passend für die Modulare Gruppe)

Die Kettenbruchtransformation ist die Abbildung $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-1& x\ge 1\\ x+1& x\le -1\\ -\frac{1}{x}& \end{array}$ Dies ist eine Markov-Abbildung mit Zerlegung der Intervalle $[\infty ,-1],[-1,0],[0,1],[0,\infty ]$. (Die Abbildung ist zweiwertig auf den Endpunkten aber das kann man ignorieren). Der P-Namev der gleiche wie der Kettenbruch. Wir md)lich so etwas wie einen Dualnamen nehmen, wo die Zeichen nicht die Intervalle sind, sondern die dazwischen angewandten Abbildungen ${\Gamma }_0=\{m\mapsto x-1,x\mapsto x+1,x\mapsto -1/x\}$ sind. Diese sind nun exakt die Kettenbrüche.

Eigenschaften

Satz:

lit_seriesNoneuclideanGeometryContinued1982