Beschreibung
Die Reduzierte Burau Darstellung resultiert aus der normalen Burau Darstellung durch einen Basiswechsel.
Definition
Man erinnere sich an die Burau Darstellung. Diese hat die Basis .
Wir wechseln die Basis zu , . Der letzte Basisvektor ist ein Fixvektor aller Burau-Matrizen. Die Matrizen haben daher eine unten rechts und die letzte Spalte/Zeile kann ohne Informationsverlust entfernt werden.
Dadurch ist jede Matrix Element der Allgemeine Lineare Gruppe . Die Vertauschungen erhalten nun die Darstellung:
Die Elemente korrespondieren mit Achterschleifen, die erst mit ein Deck hochklettern und dann mit wieder runderklettern
Eigenschaften
Eigenvektoren
Die Eigenvektoren und Eigenwerte der Burau-Darstellung haben auch hier eine schicke geometrische Interpretation.
Ein Eigenvektor ist eine Hintereinanderkettung von Achterschleifen. Durch Anwendung einer Matrix wird die Kurve vervielfacht.