Cholesky Zerlegung

Beschreibung

Wir versuchen weiterhin ein Lineares Gleichungssystem zu lösen. Diesmal betrachten wir einen Algorithmus im Spezialfall, dass $A$ eine hermitesch, Positiv Definite Matrix ist.

Definition

Ist eine Matrix $A$ hermitesch und positiv definit, so hat sie eine Zerlegung $A=L{L}^{\ast }$ bestehend aus einer unteren Dreiecksmatrix und ihrer Matrixadjunktion, wobei die Hauptdiagonale von $L$ strikt positiv ist.

Diese Zerlegung ist eindeutig und heißt Cholesky-Zerlegung von $A$.

Eigenschaften

Konstruktion

Wir konstruieren die Choletzky-Zerlegung induktiv und beginnen bei der Hauptdiagonalen der Produkte $L$: Setze $l_{11}:=\sqrt{a_{11}}$. Berechne nun $L$ zeilenweise. Wir berechnen also $l_{r1},...,l_{rr}$ Deren komplex konjugierte Werte von $l_{r1},...,l_{r,r-1}$ errechnen sich durch ${\bar{l}}_{rj}:=\frac{a_{jr}-{\sum }_{k=1}^{j-1}{l}_{jk}{\bar{l}}_{rk}}{l_{jj}}$ $l_{rr}$ errechnet sich durch $l_{rr}=\sqrt{a_{rr}-{\sum }_{k=1}^{r-1}|l_{rk}{|}^2}$

Das genauerer Vorgehen und der Beweis steht im Numerik Skript. Ich konnte nicht die Motivation aufwenden, um mich damit zu befassen.

Q: Cholesky-Formel für Matrixelement im Dreieck ${\bar{l}}_{rj}=$ A: (\bar l_{rj} := \frac{a_{jr}- \sum_{k=1}^{j-1}l_{jk}\bar l_{rk}}{l_{jj}})

Q: Cholesky-Formel für Matrixelement auf Hauptdiagonale $l_{rr}=$ A: (l_{rr} = \sqrt{a_{rr}-\sum_{k=1}^{r-1}|l_{rk}|^2})