Beschreibung
Ein Irreduzibelprodukt -ten Grades beschreibt das Polynom, dass man durch das Produkt aller Irreduziblen Polynome -ten Grades erhält.
Definition
Sei ein Endlicher Körper (oder vielleicht sogar etwas allgemeineres). Das Produkt aller in irreduziblen Polynome -ten Grades wird mit bezeichnet.
Eigenschaften
Spezielle Eigenschaft bei endlichen Körpern
Es gilt die Eigenschaft: Beweis: Nach Übungsaufgabe, ist das Produkt aller irreduziblen Polynome, deren Grad teilt. Das Produkt aller Polynome vom Grad werden in zusammengefasst, wodurch obere Gleichungs selbstverständlich ist.
Berechnung
Man kann sich die obere Gleichung mit dem Möbiusscher Umkehrsatz zu nutze machen und eine Formel für die Berechnung von erhalten, nämlich: Beweis: ist die Summatorische Funktion von , das Additionssymbol wurde aber durch ein Produktsymbol ersetzt. Durch den Umkehrsatz erhalten wir die obere Formel.
\newcommand{\R}{\mathbb R}