Beschreibung
Im folgenden Artikel werden die Agol Zykel der dreifach punktierten Kreisscheibe betrachtet. Die Idee ist hier im Wesentlichen die Zugstrecke des durchbohrten Torus auf die Kreisscheibe zu reduzieren.
Definition
Betrachte den Torus unter der Hyperelliptische Involution. Diese hat Fixpunkte, die wir als markierte Punkte verstehen können. Bildet man den Quotientenraum und entfernt die Fixpunkte erhÀlt man die -punktierte SphÀre , realisiert als ein Kissen, dessen Ecken fehlen. Durch Aufblasen einer Ecke erhalten die die -Punktierte Kreisscheibe. Die Mapping class group der -Punktierten SphÀre geht analog aus dem Quotienten mit der Hyperbolischen Involution hervor. Fixiert man den vierten Punkt, ergibt sich die Abbildungsklassengruppe der -Braid, die den Rand mengenweise fix hÀlt. Es handelt sich hier also um eine Teilmenge der MCG der -punktierten SphÀre. Die Abbildungsklassengruppe, die den Rand punktweise fix hÀlt lÀsst sich dann ebenfalls einfach daraus rekonstruieren. Wir erhalten dadurch den folgenden Homomorphismus Sei nun ein Zopf und die zugehörige Wirkung auf dem Kissen. Die Wirkung besitzt eine GeodÀtische Laminierung und die folgende Zugstrecke ist passend dazu:
Es gibt ein VerhĂ€ltnis , sodass das wiederholte Anwenden maximalen Spaltungen eine Folge von Links-, und Rechtsspaltungen beider groĂen Zweige ist. Die Folge von Links- und Rechtspaltungen ist genau durch gegeben. Die ZykellĂ€nge ist .
Eigenschaften
Korollar: Konjugatonsproblem fĂŒr Zöpfe
Ein Korollar der oberen Berechnung ist, dass zwei pseudo-Anosovschen Zöpfe genau dann konjugiert in sind, wenn ihre Agol-Zykel Àquivalent sind.
Satz: ZykellÀnge
Die ZykellÀnge ist gleich der kanonischen LÀnge der Linksnormalform.
Beispiele
Beispiel:
Sei und . Dann bildet einen Agol Zykel von LĂ€nge .
