Beschreibung
Definition
Sei eine ungerade Primzahl und . Das Legendre-Symbol modulo ist definiert durch
0 &\text{falls } p \mid a \\ -1 &\text{falls }a\text{ quadratischer Nichtrest modulo }p\end{cases}$$ [[Quadratischer Rest]] # Eigenschaften ## Rechenregeln Sei $p$ eine ungerade Primzahl und seien $a, b \in \mathbb{Z}$. Dann gilt $$(\frac{ab}{p}) = (\frac{a}{p})(\frac{b}{p}) \text{ und }(\frac{a}{p}) = (\frac{b}{p}) \text{ falls } a \equiv b \mod p$$ ## Eulersches Kriterium Sei $p$ eine ungerade Primzahl. Dann gilt $(\frac{a}{p}) \equiv a^{(p-1)/2} \mod p$ für alle $a \in \mathbb{Z}$[^1] ## Erster Ergänzungssatz Für jede ungerade Primzahl $p$ gilt. $$(\frac{-1}{p}) = (-1)^{(p-1)/2} = \begin{cases} 1 &\text{falls } p \equiv 1 \mod 4 \\ -1 &\text{falls } p\equiv 3 \mod 4\end{cases}$$ ## Zweiter Ergänzungssatz $$(\frac{2}{p}) = (-1)^{(p^2-1)/8} = \begin{cases} 1 &\text{falls } p \equiv 1, 7 \mod 4 \\ -1 &\text{falls } p\equiv 3, 5 \mod 4\end{cases}$$ ## Quadratisches Reziprozitätsgesetz Siehe [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz]] # Beispiel Berechne die Legendre-Symbole modulo $7$: | $a$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | | --------------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $(\frac{a}{p})$ | -1 | -1 | 0 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | -1 | 0 | 1 | 1 | Die Zahlen erhält man, indem man alle Zahlen aus $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ quadriert: - $1^2 = 1$ - $2^2 = 4$ - $3^2 = 2$ - $4^2 = 2$ - $5^2 = 4$ - $6 = 1$ Wie man sehen kann, wiederholen sich die Bilder des Legrenge-Symbols alle $p$ Elemente. [^1]: Gerkmann - Satz 14.4