Separable Erweiterung

\newcommand{\R}{\mathbb R}

Beschreibung

Definition

Wir nennen die Körpererweiterung $L|K$ separabel, wenn jedes $\alpha \in L$ über $K$ separabel ist.

Hinreichende Voraussetzungen

Erweiterungen von Körper mit Charakteristik 0

Ist $K$ ein Körper der Charakteristik $0$, dann ist jede Algebraische Erweiterung $L|K$ separabel.¹

Erweiterungen endlicher Körper

Ist $K$ ein Endlicher Körper, dann ist jede algebraische Erweiterung $L|K$ separabel.²

Eigenschaften

Quantifizierung der Separabilität

Sei $L|K$ eine endliche Erweiterung und $\tilde{K}$ ein algebraisch abgeschlossener Erweiterungskörper von $L$. Dann gilt $|Ho{m}_K(L,\tilde{K})|\le [L:K]$ mit Gleichheit genau dann, wenn die Erweiterung $L|K$ separabel ist.

Die Anzahl der Homomorphismus besagt irgendwie, wie seperabel eine Erweiterung ist.³

Anzahl Zwischenkörper

Jede endliche, separable Erweiterung $L|K$ besitzt nur endlich viele Zwischenkörper.

Beispiele

Inseparables Beispiel

Sei $p$ eine Primzahl. ${\text{F}}_p[t]=$ Polynomring über ${\text{F}}_p$. ${\text{F}}_p(t)=$ rationaler Funktionenkörper über ${\text{F}}_p=$ Quotientenkörper von ${\text{F}}_p[t]=\{\frac{u}{v}:u,v\in {\text{F}}_p[t],v\ne 0\}$

Dann ist ${\text{F}}_p(t)|{\text{F}}_p(t^p)$ eine algebraische aber inseparable Erweiterung.

Footnotes

1. Gerkmann - Satz 16.9 ↩

2. Gerkmann - Satz 16.10 ↩

3. Gerkmann - Proposition 16:11 ↩