Satz von Borsuk-Ulam

Beschreibung

Der Satz von Borsuk-Ulam besagt, dass es immer zwei gegenüberliegende Punkte auf der Sphäre gibt, die die gleiche Temperatur und den gleichen Luftdruck haben.

Definition

Für jede stetige Abbildung $f:S^n\to {\mathbb{R}}^n$ gibt es ein Paar von Antipoden $x,-x\in S^2$ sodass $f(x)=f(-x)$

Ein Korollar ist, dass es keinen Homöomorphismus zwischen $S^n$ und ${\mathbb{R}}^n$ gibt.

Beweis: Der folgende Beweis zeigt den Satz für $n=2$. Betrachte die Abbildung $g:S^2\to S^1,x\mapsto \frac{f(x)-f(-x)}{|f(x)-f(-x)|}$ und die Abbildung $\eta :I\to S^2$, die das Einheitsintervall gleichmäßig auf den Äquator abbildet. Wir konkatenieren und erhalten $h=g\eta$. Da $g(-x)=-g(x)$, folgt $h\left(x+\frac{1}{2}\right)=-h(s)$. Die Kurve wiederholt sich also nach Zeit $\frac{1}{2}$ auf der Rückseite des Kreises. Damit ist $\tilde{h}\left(x+\frac{1}{2}\right)=\tilde{h}(x)+\frac{q}{2}$ für ein ungerades $q$ und damit $\tilde{h}(1)=\tilde{h}(0)+q$. Da $q$ ungerade ist, kann $h$ nicht konstant sein, es ist ein nichttrivialer Kreis. Dies ist aber nicht möglich, da sich $\eta$ zum Nordpol homotopieren lässt, wodurch $g\eta$ punktförmig wird.

Eigenschaften

Korrolar Zerlegung in drei abgeschlossener Mengen enthält immer ein paar antipodaler Punkte

Schreibt man $S^2$ als Vereinigung, drei abgeschlossener Mengen $A_1,A_2,A_3$, so besitzt eine Menge ein paar antipodaler Punkte $x,-x$.

Beweis: Sei $d_i:S^2\to \mathbb{R}$ die Abstandsmessfunktion von $A_i$. Sie ist stetig, also gilt Borsuk-Ulam auf $d_1\times d_2$. Es also ein Paar antipodaler Punkte, die gleich weit von $A_1$ und $A_2$ entfernt sind.

• Ist der Abstand zu $A_1$ bzw. $A_2$ gleich $0$, so gilt $x,-x\in A_1$ bzw. $A_2$
• Ist der Abstand größer als $0$, so gilt $x,-x\notin A_1,A_2$ also $x,-x\in A_3$

Eine Verallgemeinerung zeigt, dass man eine $n$-Kugel nicht mit $n+1$ Abgeschlossenen Mengen überdecken kann.

lit_hatcherAlgebraicTopology2002