Holomorphe Wurzel

Beschreibung

Die holomorphe Wurzel ist ist die Wurzel, definiert auf komplexe Zahlen

Definition

Sei

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}\backslash \{0\}$ ein Gebiet.
• $\log :U\to \mathbb{C}$ ein Zweig des Logarithmus
• $b\in \mathbb{C}$

Dann heißt $\begin{array}{rrcl}{z}^b& U& \to & \mathbb{C}\\ & z& \mapsto & e^{b\log (z)}\end{array}$ ein Zweig der b-ten Potenz auf $U$¹

Sei

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}\backslash \{0\}$ ein Gebiet
• $f:U\to \mathbb{C}$ eine nullstellenfreie, holomorphe Funktion.

Dann gibt

Dann existiert für jedes $n\in \mathbb{N}$ eine holomorphe $n$-te Wurzel $g:U\to \mathbb{C}\backslash \{0\}$, sodass $(g(z){)}^n=f(z)$ für alle $z\in U$. ¹

Eigenschaften

Für $b\in \mathbb{Z}$ ist $z^b$ eindeutig. Für andere Werte aber nicht unbedingt²

Quotient zweier Wurzeln

Sei

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}\backslash \{0\}$ ein Gebiet.
• $g,h:U\to \mathbb{C}$ $n$-te Wurzeln von $f$.

Dann ist $\frac{g}{h}$ eine konstante Funktion, die nur die Werte $e^{\frac{2\pi i}{n}k}:k\in \{0,1,...,n-1\}$ annehmen kann.¹

Wegintegral

Sei

• $S\subseteq \mathbb{C}\backslash [0,\infty [$ eine endliche Menge
• $f$ eine Rationale Funktion, mit einem echt größeren Nennergrad. Der Nenner von $f$ hat auf $\mathbb{R}$ keine Nullstelle
• Es sei $0<Re(a)<1$ Exponent einer Komplexe Potenz

Es sei $\begin{array}{rrcl}g:& \mathbb{C}\backslash ([0,\infty [\cup S)& \to & \mathbb{C}\\ & z& \mapsto & f(z)z^{a-1}\end{array}$, dann gilt:

$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f(t)t^{a-1}dt=-\frac{\pi e^{-i\pi a}}{\sin (\pi a)}{\sum }_{s\in S}Res(g,s)$

Footnotes

1. Zenk - Definition 23.3.7 ↩ ↩² ↩³

2. Zenk - Bemerkung 23.3.8 ↩