Trajektorie

Description

Die Menge aller Punkte, die von einer Solution (ODE) einer Differentialgleichung durchlaufen wird, nennt man Trajektorie (auch Phasenkurve, Lösungskurve oder Integralkurve)

Wandelt man die Autonome DGL eines Ballwurfs in ein Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung um, so ist die Trajektorie die Menge aller durchlaufenen Zustände, die während einer Physiksimulation mit fortschreitender Zeit auftaucht. D.h. eine Kurve im Phasenraum.

Die Trajektorie ist ein Spezialfall einer Solution curve, jedoch ohne Zeit.

Definition

Sei $D\subseteq {\mathbb{K}}^d$ ein offener und zusammenhängeder Raum von Zuständen und $v:D\to {\mathbb{K}}^d$ die lokal lipschitzstetige rechte Seite der DGL

Eine Teilmenge $T\subset D$ heißt Trajektorie von $x^{\prime }=v(x)$, wenn $T(\xi )=\phi (J_{\xi },\{\xi \})$

Definition (positive/negative Halbtrajektorie)

Die Trajektorie zu positiven Zeiten. $T^{+}(\xi )=\{\phi (t,\xi )\in D:t\in J_{\xi },t\ge 0\}$ DIe Trajektorie zu negativen Zeiten. $T^{-}(\xi )=\{\phi (t,\xi )\in D:t\in J_{\xi },t\le 0\}$

Eine Menge heißt invariant, wenn das Vergehen der Zeit die Menge nicht verändert.

Definition (Invarianz)

$M\subseteq D$ heißt invariant (bzgl. $\phi$), wenn mit jedem $\xi \in M$ auch die Trajektorie $T(\xi )=\{\phi (t,\xi ):t\in J_{\xi }\}\subseteq M$ ist.

$M\subseteq D$ heißt positiv invariant (bzgl. $\phi$), wenn mit jedem $\xi \in M$ auch die Trajektorie $T(\xi )=\{\phi (t,\xi ):t\in J_{\xi },t\ge 0\}\subseteq M$ ist

Properties

Zusammenhangsbedingung der Trajektorie

Die Lösungskurve ist als Graph einer stetigen Funktion zusammenhängend

Zusammenhang mit Einparametrigen Gruppen

Bei Phase wurde erklärt, wie eine Phase das gleiche ist wie eine Anwendung einer Transformation $g^t$ aus einer Einparametrigen Gruppe auf einen Startwert $\xi$.

Somit ist die Punktemenge, die durch Anwednung aller Transformationen aus $g^t$ entsteht genau die Trajektorie des Flusses

Relationship to the existence interval

Let $b(\xi )$ denote the right boundary of the Existence interval.

• Ist die positive Halbtrajektorie $T^{+}(\xi )$ von $(1)$ in einer kompakten Teilmenge von D enthalten, so gilt $b(\xi )=\infty$
• Ist die negative Halbtrajektorie $T^{-}(\xi )$ in einer kompakten Teilmenge von D enthalten, so gilt $a(\xi )=-\infty$
• Ist $b(\xi )<\infty$, so ist
  • $T^{+}(\xi )$ unbeschränkt D.h. ein Fluss geht gegen Unendlich, bevor ein bestimmter Zeitpunkt erreicht wurde oder
  • Der Rand von $D$ ist ist nichtleer und es gilt $\underset{t\nearrow \xi }{\lim }dist(\phi (t,\xi ),\partial D)=0$ D.h. Die Trajektorie stößt an den Rand des Definitionsbereiches