Direktes Limit einer wirkenden Matrix

Beschreibung

Das Direkte Limit einer wirkenden Matrix ist eine Verallgemeinerung des Direktes Limit der Kategorientheorie. Es taucht immer wieder als Dual des Inverses Limit einer wirkenden Matrix auf.

Definition

Alle Vektoren seien hier Reihenvektoren. Definiere den Normalteiler: $N:=\left\{\alpha \in {⨁}_{\mathbb{N}}{\mathbb{Z}}^n:\exists r\in \mathbb{N}\text{ mit }{\alpha }_i=0,\forall i\ne r,r+1,{\alpha }_{r+1}={\alpha }_{r}A\right\}$ Das direkte Limit über $\mathbb{N}$ von $A$ wirkend auf ${\mathbb{Z}}^n$ ist der Quotient: $\underrightarrow{\lim }({\mathbb{Z}}^n,A)={⨁}_{\mathbb{N}}{\mathbb{Z}}^n/N$ Die Matrix $A$ induziert einen Automorphismus $A_{\ast }$ durch $A_{\ast }({\alpha }_0,{\alpha }_1,...)=({\alpha }_{0}A,{\alpha }_{1}A,...)$

Charakterisierung als Dualraum des Inversen Limits

Betrachte das inverse Limit $\underleftarrow{\lim }(T^n,A)$ sowie den durch $A$ induzierten Automorphismus $A^{\ast }$, definiert als $A^{\ast }(x_0,...)=(A{x}_0,x_1,...)$. Die duale Gruppe ist das Direkte Limit $\underrightarrow{\lim }({\mathbb{Z}}^n,A)$ Die Matrix $A$ induziert einen Automorphismus $A_{\ast }$ durch $A_{\ast }({\alpha }_0,...)=({\alpha }_{0}A,{\alpha }_{1}A,...)$. Ein Element $\bar{\alpha }\in \underrightarrow{\lim }({\mathbb{Z}}^n,A)$ definiert einen Charakter durch das Auswählen eines $\alpha \in \sum {\mathbb{Z}}^n$, das unterm Quotienten auf $\bar{\alpha }$ abbildet und durch ${\chi }_{\bar{\alpha }}(x)={\alpha }_i{x}_i$.

tchensSymbolicDynamicsOnesided2012]] ics lit_kitchensSymbolicDynamicsOnesided2012