Maximum principle

Description

Definition (Komplexe Zahlen)

Seien $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ ein Gebiet $U$ ist der Definitionsbereich von $f$ und $f:U\to \mathbb{C}$ eine Analytische Funktion.

1. Hat $|f|$ in $a\in U$ ein lokales Maximum, dann ist $f$ konstant auf $U$
2. Ist $f$ eine nicht-konstante holomorphe Funktion und besitzt $f$ in $a\in G$ ein Betragsminimum, so ist bereits $f(a)=0$

Definition (Maximum principle for bounded domains)

Let $U\subseteq \mathbb{C}$ be a bounded Gebiet. $f:\bar{U}\to \mathbb{C}$ a continuous and on $U$ Holomorphic function. Then:

1. $|f|$ has a global maximum on the boundary of $U$
2. $f$ has a root inside $U$ or a minimum on the boundary

Proof: Man stelle sich ein Gebiet $U$ vor. Dieses Gebiet wird durch die analytische Funktion auf ein neues verzerrtes Gebiet $f(U)$ abgebildet. Misst man jetzt den Abstand von jedem Punkt des neuen Gebiets zum Ursprung ist es offensichtlich, dass ein Randpunkt am weitesten entfernt ist.

Definition (Riemannsche Fläche)

Seien $X,Y$ Riemann surface, $U$ ist der Definitionsbereich von $f$ und $f:U\to \mathbb{C}$ eine Analytische Funktion Hat $|f|$ in $a\in U$ ein lokales Maximum, dann ist $f$ konstant auf $U$