Mitteldimension

Beschreibung

Die Mitteldimension ist eine Zahl, die einem topologischen System zugeordnet werden kann. Sie misst die Komplexität des Systems, indem sie beschreibt, wie stark offene Mengen über eine Überdeckung gestreckt werden.

Definition

Sei $(X,T)$ ein Dynamisches System. Sei $\mathcal{O}$ die Menge der offenen endlichen Überdeckungen von $X$. Für $\alpha \in \mathcal{O}$ definiere die Ordnung als $\text{ord}(\alpha )={\max }_x\in X\sum _{U\in \alpha }{1}_U(x)-1$ Bezeichne eine Verfeinerung $\beta$ von $\alpha$ durch $\beta \prec \alpha$ und definiere $D(\alpha )=\underset{\beta \prec \alpha }{\min }\text{ord}(\beta )$ Die Lebesguesche Überdeckungsdimension lässt sich übrigens einfach durch ${\dim }_{Leb}(X)={\sup }_{\alpha \in \mathcal{O}}D(\alpha )$berechnen. Für zwei Offene Überdeckungen $\alpha ,\beta$ bezeichne $\alpha \vee \beta$ als den Join. Dieser ist eine Offene Überdeckung bestehend aus allen Mengen $A\cap B$ für $A\in \alpha ,B\in \beta$. Der Join über einer Indexmenge wird mit ${\bigvee }_{i=0}^{n-1}{\alpha }_i$. Die Mitteldimension einer Abbildung $T$ ist definiert als $\text{mdim}(X,T)={\sup }_{\alpha \in \mathcal{O}}{\lim }_{n\to \infty }\frac{D({\alpha }^n)}{n}$ wobei ${\alpha }^n={\bigvee }_{i=0}^{n-1}{T}^{-i}\alpha$.

Eigenschaften

Eigenschaft