Free group

Beschreibung

Eine freie Gruppe ist eine Group, die sich eindeutig durch ein vollständig gekürztes Wort schreiben lässt.

Definition als durch Wörter

Sei $S=\{s_1,...\}$ ein Alphabet mit $n$, abzählbar unendlich oder überabzählbar unendlich vielen Zeichen.

Eine **freie Gruppe $G_n$ von Rang ** $n$ ist die Menge aller gekürzten Wörter bestehend aus den Zeichen $\{s_1,...,s_1^{-1},...\}$. Ein Wort ist gekürzt, wenn keine inversen Zeichen aufeinanderfolgen. Die Freie Gruppe über dem Alphabet $S$ wird mit $F(S)$ abgekürzt.

Definition als Präsentation

Eine Freie Gruppe $F_n$ von Rang $n$ hat die Präsentation $F_n:=\text{wink}\text{ges}1,...,n\mid \text{ges}e$

Universelle Eigenschaft

Sei $F$ eine Group und $S\subseteq F$ eine Menge. $F$ wird genau dann von $S$ frei erzeugt genannt, wenn es für jede Gruppe $G$ und jede Abbildung $\phi :S\to G$ einen eindeutigen Group homomorphism $\bar{\phi }:F\to G$ gibt, der eine Fortsetzung von $\phi$ ist.

Beweis: Für diese universelle Eigenschaft müssen zwei Sachen gezeigt werden:

1. Es gibt eine Fortsetzung
2. Die Fortsetzung ist eindeutig

Damit die Fortsetzung existiert, müssen die Relatoren von $F$ und $G$ kompatibel sein. Eine Fortsetzung kann unmöglich sein, wenn $F$ und $G$ inkompatible Relationen bezüglich den Elementen aus $S$ haben. z.B. wenn $s\in S$ in $F$ Ordnung $5$ und in $G$ Ordnung $3$ hat. Wenn $F$ keine Relatoren hat $F$ sind $F$ und $G$ natürlich immer kompatibel. Damit die Fortsetzung eindeutig ist, muss $S$ ein Erzeugendensystem von $F$ sein.

Charakterisierung durch Baumförmigen Cayley-Graph

Eine Gruppe ist genau dann frei, wenn dessen Cayley-Graph ein Baum ist.

Eigenschaften

Schreiers Satz

Jede Subgroup einer Freien Gruppe ist frei.

Kleinstes Erzeugendensystem

Sei die Gruppe $G$ frei aus einem Erzeugendensystem $S$ erzeugt. Dann ist $S$ das kleinste Erzeugendensystem von $G$

Beispiele

Normalteiler der Speziellen, linearen Matrixgruppe

Betrachte die Abbildung, die die Spezielle Lineare Gruppe $SL(n,\mathbb{Z})$ auf die Level-m-Kongruenzuntergruppe $SL(n,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ abbildet, indem sie jeden Eintrag im Modulo nimmt.

Der Kern der Abbildung ist ein Normal subgroup der speziellen linearen Gruppe und wird mit $SL(n,\mathbb{Z})[m]$ Da $SL(n,\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$ endlich ist, muss $SL(n,\mathbb{Z})[m]$ unendlich sein.

Die Gruppe $SL(n,\mathbb{Z})[m]$ ist für $m\ge m$ frei. Das zeigen wir, indem wir die Gruppe auf einem Farey-Baum operieren lassen.

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