Diverse Sätze zu Analytischen Funktionen

Beschreibung

Analytische Funktionen sind sehr merkwürdig. Deshalb gibt es viele Sätze die Zusammenhänge zu den unterschiedlichsten Sachen.

Ich wusste nicht, wo ich das ganze hintun soll, also steht es hier drin.

Ausreichende Kriterien für Konstanz

Kriterium $Ref(z)=0$

Da $f$ analytisch (und damit lokal eine Drehsteckung) ist, muss es eine Richtung geben, in der man einen Punkt $z$ bewegen kann, sodass $f(z)$ sich parallel zur Re-Achse bewegt. Da $Ref(z)=0$, ist das aber nur möglich, wenn der Betrag der Bewegung $0$ ist.

Somit ist der Streckungsfaktor der Drehstreckung für alle $z$ $0$ und $f(z)$ ist konstant.¹

Kriterium $|f(z)|=const$

Da $f$ analytisch (und damit lokal eine Drehsteckung) ist, muss es eine Richtung geben, in der man einen Punkt $z$ bewegen kann, sodass $f(z)$ sich senkrecht zum Kreis um $0$ mit Radius $const$ bewegt. Da $|f(z)|=const$, ist das aber nur möglich, wenn der Betrag der Bewegung $0$ ist.

Somit ist der Streckungsfaktor der Drehstreckung für alle $z$ $0$ und $f(z)$ ist konstant.²

Kriterium $f(z)$ und $\overline{f(z)}$ analytisch

Da $f$ analytisch (und damit lokal eine Drehsteckung) ist, muss es eine Richtung geben, in der man einen Punkt $z$ bewegen kann, sodass $f(z)$ sich parallel und positiv zur Re-Achse $const$ bewegt. Bewegt man nun $z$ (gegen Uhrzeigersinn) senkrecht, so bewegt sich $f(z)$ und $\overline{f(z))}$ nach oben. Das widerspricht aber der Tatsache, dass $f(z)$ und $\overline{f(z)}$ achsensymmetrisch zur Re-Achse sein sollten. Der Betrag der Bewegung musste also $0$ sein.

Somit ist der Streckungsfaktor der Drehstreckung für alle $z$ $0$ und $f(z)$ ist konstant.³

Argumentprinzip

Siehe Argumentprinzip

Existenz von Nullstellen

Seien

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ ein Gebiet der Definitionsbereich von $f$
• $f:U\to \mathbb{C}$ eine Analytische Funktion
• $\overline{K}(a,r)\subseteq U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe

Gilt: $\min \{|f(z)|:|z-a|=|r|\}>|f(a)|$ so hat f eine Nullstelle in $K(a,r)$[^1]

Satz der Gebietstreue

Satz der Gebietstreue

Maximumsprinzip

Maximumsprinzip

Minimumsprinzip

Seien

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ ein Gebiet $U$ ist der Definitionsbereich von $f$
• $f:U\to \mathbb{C}$ eine Analytische Funktion

Hat $|f|$ in $a\in U$ ein lokales Minimum, dann gilt $f(a)=0$ oder $f$ ist konstant auf $U$⁴

Beweis: Man stelle sich ein Gebiet $U$ vor. Dieses Gebiet wird durch die analytische Funktion auf ein neues verzerrtes Gebiet $f(U)$ abgebildet. Misst man jetzt den Abstand von jedem Punkt des neuen Gebiets zum Ursprung ist es offensichtlich, dass entweder ein Randpunkt der 0 am nähesten ist oder dass die 0 selbst im Inneren liegt.

Maximums- Minimumsprinzip für beschränkte Mengen

Seien

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ ein beschränktes Gebiet
• $\overline{U}$ ist der Abschluss von $U$
• $f:\overline{U}\to \mathbb{C}$ eine stetige Funktion

Ist die Einschränkung $f{|}_U\to \mathbb{C}$ eine Analytische Funktion, dann gilt:

1. $|f|$ nimmt auf dem Rand $\partial U=\overline{U}\backslash U$ ein Maximum an D.h. Es gibt ein $a\in \partial U$ mit $|f(a)|=\max \{|f(z)|:z\in \overline{U}\}$
2. $f$ hat in $U$ eine Nullstelle oder $|f|$ nimmt auf $\partial U$ ein Minimum an. ⁵

Maximums- Minimumsprinzip für Real- und Imaginärteil

Seien

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ ein Gebiet $U$ ist der Definitionsbereich von $f$
• $f:U\to \mathbb{C}$ eine Analytische Funktion

1. Hat $Re(f)$ in $a\in U$ ein lokales Maximum, dann ist $f$ konstant auf $U$
2. Hat $Im(f)$ in $a\in U$ ein lokales Maximum, dann ist $f$ konstant auf $U$
3. Hat $Re(f)$ in $a\in U$ ein lokales Minimum, dann ist $f$ konstant auf $U$
4. Hat $Im(f)$ in $a\in U$ ein lokales Minimum, dann ist $f$ konstant auf $U$⁶

Maximums- Minimumsprinzip für beschränkte Mengen und Real- Imaginärteil

Seien

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ ein beschränktes Gebiet
• $\overline{U}$ ist der Abschluss von $U$
• $f:\overline{U}\to \mathbb{C}$ eine stetige Funktion

Ist die Einschränkung $f{|}_U\to \mathbb{C}$ eine Analytische Funktion, dann gilt:

1. $Im(f)$ und $Re(f)$ nimmt auf dem Rand $\partial U=\overline{U}\backslash U$ ein Maximum an D.h. Es gibt ein $a\in \partial U$ mit $|f(a)|=\max \{|f(z)|:z\in \overline{U}\}$
2. $Im(f)$ und $Re(f)$ nimmt ein Minimum an. ⁷

Satz von Liouville

(Satz von Liouville)

Residuensatz

Siehe (Residuensatz)

Zählen von Nullstellen

Siehe (Zählen von Nullstellen)

Satz von der lokalen Umkehrfunktion

Es sei

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ offen
• $f:U\to \mathbb{C}$ analytisch
• $a\in U$ mit $f^{\prime }(a)\ne 0$

Dan ist $f$ lokal biholomorph um $a$, d.h. es gibt eine offene Umgebung $V$ von $a$ und eine offene Umgebung $W$ von $f(a)$, sodass $g:V\to W,z\mapsto f(z)$ biholomorph ist.⁸

Schwarzsches Lemma

Siehe Schwarzsches Lemma

ty Zenk - Lemma 22.5.1

Footnotes

1. Needham - Aufgabe Kap. 3-7-i ↩

2. Needham - Aufgabe Kap. 3-7-ii ↩

3. Needham - Aufgabe Kap. 3-7-iii ↩

4. Zenk - Korollar 22.5.6 ↩

5. Zenk - Korollar 22.5.7 ↩

6. Zenk - Satz 22.5.8 ↩

7. Zenk - Korallar 22.5.9 ↩

8. Zenk - Satz 25.1.6 ↩