Kompaktifizierte Teichmüller Raum

Beschreibung

Nachdem wir ein wenig mit Funktionenräumen herumspielten zeigten wir, dass der Teichmüller-space von geschlossenen Flächen die Form eines offenen Balls hat und dessen Rand der projektive Raum der messbaren Blätterungen ist. Der Abschluss des Balles wird als der kompaktifizierte Teichmüller Raum $\overline{\mathcal{T}}(S):=\mathcal{T}(S)\cup \mathcal{P}\mathcal{M}\mathcal{F}(S)$ bezeichnet. Für die Konstruktion siehe die Sätze in Teichmüller-space und Raum der projektiven messbaren Blätterungen.

Eigenschaften

Wirkung der Abbildungsklassengruppe

Für eine geschlossene Fläche $S$ mit markierten Punkten $P$ wirkt die Abbildungsklassengruppe $MCG(S)$ wie folgt auf dem kompaktifizierten Teichmüller Raum:

• Wenn $[\mathcal{F}]\in \mathcal{P}\mathcal{M}\mathcal{F}(S)$, dann $\varphi \cdot [\mathcal{F}]=[\varphi (\mathcal{F})]$
• Wenn $(f,M)\in \mathcal{T}(S)$, dann $\varphi \cdot (f,M)=(f\circ \varphi ,M)$

lit_issa2012construction