Stable solution

Description

Eine Lösung einer Differentialgleichung ist stabil wenn kleine Änderungen des Startwert keine großen Änderungen der Lösung zu Folge haben.

Definition

Sei $\mu :]a,\infty [\to {\mathbb{K}}^d$ eine Lösung der DGL $x^{\prime }=f(t,x)$. $\mu$ ist stabil, wenn es für alle $\epsilon >0$ und und für alle $\tau >a\in \mathbb{R}$ ein $\delta (\epsilon ,\tau )>0$ gibt, mit: Zu jedem Anfangswert $(\tau ,\xi )$ mit $||{\lambda }_{(\tau ,\xi )}(t)-\mu (t)||<\delta$ existiert die maximale Lösung ${\lambda }_{(\tau ,\xi )}(t)$ und erfüllt das Initial value problem: $x^{\prime }=f(t,x),x(\tau )=\xi$für alle $t\ge \tau$ und erfüllt die Abschätzung: $\underset{t\ge \tau }{\sup }||{\lambda }_{(\tau ,\xi )}(t)-\mu (t)||<ϵ$

Notice, that there is also a difference in time. So if somehow there is a flow which is faster on the edges, then this is not a stable solution. I kind of got this. We imagine a Solution curve and an $ϵ$-tube around it. We now pick some starting time $\tau$. Then there is some possible leeway, so that the solution stays inside the tube.

Also note, that the solution must be defined for all positive $t$.