Beschreibung
Die Lie-Klammer von Vektorfeldern kann algebraisch als Analogon zur Differenz zweier globaler Derivationen betrachtet werden.
Geometrisch beschreibt den Unterschied, einen infinitesimalen Schritt entlang , dann zu nehmen oder einen infinitesimalen Schritt entlang , dann zu nehmen.
Definition
Seien Vektorfelder. Es gibt ein eindeutiges Vektorfeld auf , sodass fĂŒr jede Glatte Funktion erfĂŒllt ist:
Wobei hier die Lie Ableitung bezeichnet. Es ist wichtig zu verstehen, dass das selbst kein Vektorfeld ist. (Vermutlich fehlt die Glattheit)
Intuition
Wie in der Beschreibung gesagt, beschreibt den Unterschied, einen infinitesimalen Schritt entlang , dann zu nehmen oder einen infinitesimalen Schritt entlang , dann zu nehmen.
Beweis: Es gilt . ist hierbei einfach eine Lie Ableitung. Es beschreibt, wie sich Ă€ndert, wenn man folgt. Das heiĂt: Folgt man erst und dann kommt man an einem anderen Punkt an, als man dachte. Die Abweichung vom vorhergesehenen Punkt ist . Folgt man erst , dann ist die Abweichung gegeben . Demnach ist der Unterschied, die beiden Pfade zu gehen.
Siehe auch: https://www.youtube.com/watch?v=SfOiOPuS2_U&list=PLJHszsWbB6hpk5h8lSfBkVrpjsqvUGTCx&index=24
Eigenschaften
Form in Koordinaten
Seien Vektorfelder au . Sei eine Karte auf . Schreibe in Koordinaten:
Dann gilt
Zusammenhang mit lokalem Fluss
Seien zwei Vektorfelder auf und die lokale Gruppe von . Dann gilt die unintuitive Gleichung:
Vertauschbarkeit mit Pullback/Pushforward
Beim Umgang mit Lie-Klammern gilt fĂŒr den Pullback bzw. Pushforward: