Spline

Beschreibung

Definition

Spline

Sei $\Delta =(x_0,...,x_N)$ ein Knotenvektor und $lin\mathbb{N}$. Eine $l-1$-fach differenzierbare Funktion $s\in C^{l-1}[a,b]$ wird ein Spline der Ordnung $l$ zu $\Delta$ gennannt, wenn $s$ zwischen jeweils zwei anliegenden Knoten $x_k,x_{k+1}$ wie ein Polynom $p_k\in Po{l}_l(\mathbb{R})$ aussieht, d.h. $p_k{|}_{[x_k,x_{k+1}]}=s{|}_{[x_k,x_{k+1}]}(\ast )$.

Krümmung der Splines

Definiere für eine Spline $s\in S_{\Delta ,0}$ ${\alpha }_k:=s^{(l)}{|}_{]x_k,x_{k+1}[}$

Menge aller Spline

Die Menge aller Spline wird bezeichnet durch: $S_{\Delta ,l}:=\text{ges}s\in C^{l-1}[a,b]:(\ast )\text{ gilt}$

Vektorraum

$S_{\Delta ,l}$ ist ein $\mathbb{R}$-Vektorraum mit Dimension $N+l$. Mit $X_k:=I_l({\chi }_k)$ ist $B:=\text{ges}{X}_k:k\in \{0,...,N-1\}\cup \text{ges}{x}^j:j\in \{0,...,l-1\}$ eine Basis.

Eigenschaften

Polynomfunktionen sind Splines

$Po{l}_l(\mathbb{R})\subseteq S_{\Delta ,l}$

Ableitungen von Splines sind Splines

Für Spline $s\in S_{\Delta ,k}$ ist $s^{(}j)\in S_{\Delta ,l-j}$

Stammfunktionen von Splines sind Splines

Für Spline $s\in S_{\Delta ,0}$ ist $I_l(s)\in S_{\Delta ,l}$

Beispiele

Lineare Spline

Die Splines mit $l=1$ werden lineare Splines genannt. Sie sind einfach die direkten Strecken zwischen den Stützpunkten.

Kubische Splines

Die Plines mit $l=3$ sind ebenfalls wichtig und werden als kubische Splines bezeichnet.

Splines der Ordnung 0

Wir definieren Splines der $0$-ten Ordnung als $S_{\Delta ,0}=span\text{ges}{\chi }_k:k\in \{0,...,N-1\}$ mit den Charakteristischen Funktionen ${\chi }_k:[a,b]\to \mathbb{R},{\chi }_k(x):=\{\begin{array}{ll}1& x\in [x_k,x_{k+1}[\\ 0& x\notin [x_k,x_{k+1}[\end{array}$

Das sind einfach alle Funktionen, die auf jedem Intervall zwischen zwei Knoten konstant sind.