Kontravariante Tensoralgebra

Beschreibung

Wir haben bereits eine Kovariante Tensoralgebra erstellt. Wir können das gleiche nochmal machen, stattdessen aber eine Algebra über dem Dualraum erstellen. Dadurch erhalten wir eine kontravariante Version der Kovarianten Algebra.

Damit wollen wir einen Raum aller möglichen Tensoren schaffen.

Definition

Tensorprodukt von Dualräumen

Definiert man die Kovariante Tensoralgebra mit $U^{\ast }$ statt mit $U$, erhält man die Kontravariante Tensoralgebra $T^{\ast }U$ von $U$. D.h. $T^{\ast }U:=T_{\ast }U$

Eigenschaften

Kontravarianz

Die Tensoralgebra wird als kontravariant bezeichnet, da jede Lineare Abbildung $U\stackrel{L}{\to }V$ eine Lineare Abbildung auf den entsprechenden Algebran in entgegengesetzer Richtung induziert, d.h. $T^{\ast }V\stackrel{T^{\ast }L}{\to }{T}^{\ast }U$.

$T^{\ast }L$ berechnet sich ähnlich wie bei der Kovariante Tensoralgebra.

Produkt

Da die homogenen Elemente einer Kontravarianten Tensoralgebra einfach als Multilineare Abbildung indentifizierbar sind, kann man auf natürliche Art ein Produkt definieren. Dieses Produkt ist kompatibel mit dem Tensorprodukt: $\mu \otimes \nu (u_1,...,u_{k+l})\mapsto \mu (u_1,...,u_k)\nu (u_{k+1},...,u_{k+l})$