Fixkörper

\newcommand{\R}{\mathbb R}

Beschreibung

Über den Fixkörper kommen die meisten Zusammenhängen zwischen Untergruppen und Unterkörpern her.

Definition

Sei $L$ ein Körper und $G$ eine Untergruppe von $Aut(L)$. Dann nennt man $L^G=\{\alpha \in L:\sigma (\alpha )=\alpha ,\forall \sigma \in G\}$ den Fixkörper von $G$.

Eigenschaften

Sei $L$ ein Körper, $G\le Aut(L)$ eine endliche Untergruppe und $K=L^G$ der zugehörige Fixkörper. Dann ist $L|K$ eine endliche Galois-Erweiterung und es gilt $G=Gal(L|K)$¹

Es gilt also die “Rechenregel”: $Gal(L|L^G)=G$

Footnotes

1. Gerkmann - Proposition 17.6 ↩