Summierte Quadraturformel

Beschreibung

Bei den Summierten Quadraturformeln handelt es sich um eine Weiterentwicklung von der bekannten Quadraturformel. Zur numerischen Integration nimmt man hier in regelmäßigen Abständen eine Quadratur.

Definition

Für $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ und $n\in {\mathbb{N}}_0$ sei $I_n(f)={\sum }_{l=0}^n{\sigma }_{l}f({\xi }_l)$ mit $0\le {\xi }_0<{\xi }_1<...<{\xi }_n\le 1$ und ${\sigma }_0,...,{\sigma }_n\in \mathbb{R}$. Für $[a,b]$ und $N\in \mathbb{N}$ definiere Regelmäßige Unterteilungen $x_k$ mit feineren Unterteilungen $x_{k,l}$: $x_k:=a+kh,h:=\frac{b-a}{N},x_{k,l}:=x_{k-1}+h{\xi }_l$

Dann heißt $I_{n,N}(f):=h{\sum }_{k=1}^N{\sum }_{l=0}^n{\sigma }_{l}f(x_{k,l}),f:[a,b]\to \mathbb{R}$ die summierte oder zusammengesetzte Form der Formel $I_n$.

Q: Summierte Quadraturformel A: (I_{n, N}(f) := h \sum_{k=1}^N \sum_{l=0}^n \sigma_lf(x_{k,l}), f:[a, b] \to \mathbb R)

Eigenschaften

Abschätzung

Da diese Formel einfach eine Zusammensetzung der Newton-Cotes-Formel ist, ist sie sehr leicht abzuschätzen: ${\int }_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)dx=h{\int }_0^{1}f(x_{k-1}+\xi h)d\xi \approx h{\sum }_{l=0}^n{\sigma }_{l}f(x_{k,l})$

Konvergenz bei kleineren Abständen

Hat die zugrunde liegende Quadraturformel den Genauigkeitsgrad $r\ge 0$, so konvergiert die summierte Form für alle integrierbaren $f\in R[a,b]$, d.h. ${\lim }_{n\to \infty }{I}_{n,N}(f)={\int }_a^{b}f(x)dx$

\newcommand{\R}{\mathbb R}