Galoisgruppe von einfacher Radikalerweiterung

Beschreibung

Eine einfache Radikale Erweiterung ist eine Radikalerweiterung, die nur durch eine Element erzeugt wird. (Es darf also kein Turm sein.)

Eigenschaften

Bedingungen für Isomorpie

Sei $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge 2$ und $K=K^{\prime }({\zeta }_n)$ ein Körper mit $char(K)\nmid n$. Wir setzen voraus, dass $K$ eine primitive $n$- te Einheitswurzel ${\zeta }_n$ enthält.

Sei $\alpha \in L$ eine n-te Wurzel von $a={\alpha }^n\in K^{\times }$. Dann gilt:

• Die Erweiterung $K(\alpha )|K$ ist eine Galois-Erweiterung
• $Gal(K(\alpha )|K)\cong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$, wobei $d$ ein Teiler von $n$ ist
• Es gilt $G\cong \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ genau dann, wenn $f=x^n-a$ über $K$ irreduzibel ist

Übungen

Checkliste Gerkmann

Aufgabe 1

Wieviele Untergruppen hat die Galoisgruppe der Erweiterung $\text{Q}(\sqrt[8]{2},{\zeta }_8)|\text{Q}$, wobei ${\zeta }_8$ eine primitive $8$-te Einheitswurzel ist.

$\text{Q}({\zeta }_8)$ ist ein Körper, der die achte Einheitswurzel enthält. Demzufolge gilt der Satz oben und $Gal(\text{Q}(\sqrt[8]{2},{\zeta }_8)|\text{Q}({\zeta }_8))\cong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ mit $d\in \{1,2,4,8\}$ Ich denke aber, dass $x^8-2$ irreduzibel über $\text{Q}({\zeta }_8)$ ist.

$x^8-2=(x-\sqrt[8]{2})(x-{\zeta }_8\sqrt[8]{2})(x-{\zeta }_8^2\sqrt[8]{2})(x-{\zeta }_8^3\sqrt[8]{2})...$ Eine beliebiges Produkt dieser Linearfaktoren hätte den Konstanten Term ${\zeta }_8^n{\sqrt[8]{2}}^m$, wobei $m$ die Anzahl der Linearen Faktoren ist, die man zusammenmultipliziert hat. Angenommen $x^8-2$ ist reduzibel, dann muss ein Produkt von ( nicht allen) Linearfaktoren ein $\text{Q}({\zeta }_8)[x]$ Polynom sein. Das bedeutet, dass es ein $n\in \mathbb{N}$ und $m\in \{1,...,7\}$ gibt, sodass ${\zeta }_8^n{\sqrt[8]{2}}^m\in \text{Q}({\zeta }_8)$. Das gilt genau dann, wenn ${\zeta }_8^n\sqrt[8]{2}/{\zeta }_8^n\in {\sqrt[8]{2}}^m\in \text{Q}({\zeta }_8)$. Ich glaube aber $\sqrt{2}\in \text{Q}({\zeta }_8)$ da $\sqrt{2}={\zeta }_8+{\zeta }_8^7$. $x^8-2=(x^4+\sqrt{2})(x^4-\sqrt{2})$ $x^8-2$ ist also gar nicht das Minimalpolynom von $\sqrt[8]{2}$, $x^4-\sqrt{2}$ ist kleiner!

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