Meromorphe Funktion

Beschreibung

Meromorphe Funktionen sind Verallgemeinerungen von Holomorphen Funktionen. Sie wurden eingefürt, da der Kehrwert $\frac{1}{f}$ einer holomorphen Funktion nicht holomorph ist, da sie Pole an den Nullstellen von $f$ hat. Deshalb erlauben Meromorphe Funktionen Pole.

Definition

Es sei

• $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ offen
• $P=P(f)\subseteq U$ eine Menge, die in $U$ keinen Häufungspunkt besitzt¹

Eine Funktion $f:U\backslash P(f)\to \mathbb{C}$, die auf $U\backslash P(f)$ analytisch ist und in jedem Punkt $a\in P(f)$ einen Pol besitzt heißt meromorph

Polstellenmenge

$P(f)$ heißt Polstellenmenge¹

Äquivalente Charaktierisierungen

Äquivalente Charaktierisierung I

Sei

• $S\subseteq U$ eine Menge ohne Häufungspunkt und $U$
• $f:U\backslash S\to \mathbb{C}$ analytisch
• kein $s\in S$ ist eine Wesentliche Singularität

Dann ist $f$ auf $U$ meromorph und durch analytisches Fortsetzen der Hebbaren Singularitäten in $S$ erhält man eine Polstellenmenge²

Eigenschaften

C-Algebra

Sei $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ offen, dann bildet $\mathcal{M}(U):=\{f:U\backslash P(f)\to \mathbb{C}:f\text{ ist meromorph auf }U\}$ zusammen mit punktweiser Addition und Multiplikation eine $\mathbb{C}$-Algebra³

Körper

Ist $\varnothing \ne U\subseteq \mathbb{C}$ ein Gebiet, dann ist $\mathcal{M}(U)$ ein Körper (Algebra)

Ableitung

Die Ableitung einer meromorphen Funktion ist wieder meromorph und hat die gleiche Polstellenmenge⁴

Footnotes

1. Zenk - Definition 24.2.1 ↩ ↩²

2. Zenk - Bemerkung 24.2.2 ↩

3. Zenk - Lemma 24.2.3 ↩

4. Zenk - Lemma 24.2.4 ↩