Kleinstes Gemeinsames Vielfaches

Definition

Sei $R$ ein Ring mit $a_1,...,a_n\in R$. Wir sagen, ein Element $d\in R$ ist ein kleinstes gemeinsames Vielfaches (kurz kgV) von $a_1,...,a_n$, wenn gilt

1. $a_i|d$ für $1\le i\le n$
2. Ist $b\in R$ mit $a_i|b$ für $1\le i\le n$, dann folgt $e|b$

Charakterisierung

Sei $R$ ein Ring und $d\in R$ ein größter Gemeinsamer Teiler der Ringelemente $a_1,...,a_n$. Ein weiteres Element $d^{\prime }\in R$ ist genau dann ein ggT von $a_1,...,a_n$, wenn $d$ und $d^{\prime }$ zueinander assoziiert sind. Dieselbe Aussage gilt auch für das Größter Gemeinsamer Teiler