Homotopie

--- literatur:

• “lit_thiffeaultBraidsDynamics2022”
• “lit_hatcherAlgebraicTopology2002” veranstaltung:
• “2023SoSe Kin FrontierLab”
• “2021SoSe Zenk Mathematik 4” typ: Mathematikartikel

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Beschreibung

Eine Homotopie ist eine stetige Deformation zwischen zwei Abbildungen.

Häufig wird unter einer Homotopie eine Deformation zwischen zwei Wegen verstanden. Um die Begriffe besser differenzieren zu können, wird in diesem Spezialfall der Begriff Kurvenhomotopie gebraucht.

Homotopie mag auf ähnlich zu einem Homöomorphismus klingen. Allerdings sind die beiden Sachen vollkommen unterschiedlich.

• Ein Homöomorphismus bezieht sich auf die Ähnlichkeit zwischen Räumen. Zwischen den Räumen muss es keine Zwischenschritte geben. (z.B. Verformung einer Menge in nicht-zusammenhängenden Räumen)
• Eine Homotopie bezieht sich auf die Ähnlichkeit von Abbildungen. Die Bilder der Abbildungen müssen nicht notwendigerweise durch Bijektion verbunden werden können. (z.B. Zusammenziehen einer Kurve zu einem Punkt)

Eigenschaften

Erhält Homologie

Sind zwei Abbildungen Homotop, dann erhalten sie auch die Homologiegruppen. Daraus folgt, dass $f_{\ast }$ ein Isomorphismus ist, wenn $f$ eine Homotopy equivalence ist.

Beispiele

Kurvenhomotopie

Siehe [[KurvenhomotoebraicTopology2002]]