Auflösbar durch Radikale

\newcommand{\R}{\mathbb R}

Beschreibung

Wann lassen sich Nullstellen eines Polynoms durch einen Term angeben, der nur Addition, Subtraktion, Multiplikation Division und das Ziehen von Wurzeln enthält? Das soll hier beantwortet werden.

Antwort

Darstellbarkeit der Nullstellen

Ein Polynom heißt durch Radikale auflösbar, wenn jede Nullstelle durch Radikale darstellbar ist. Eine Zahl $a$ wird in $\text{Q}$ durch Radikale darstellbar genannt, wenn sie Teil einer endlichen Kette von Radikalerweiterungen ist: $\text{Q}\subset K_1\subset K_2\subset ...\subset K_n$ mit $q\in K_n$-

Diese Kette gleicht sehr der Kette für Konstruierbare Zahlen und der Normalreihe

Darstellbarkeit mit Zerfällungskörper

Ein Polynom heißt durch Radikale auflösbar, wenn sein Zerfällungskörper $V$ durch eine endliche Reihe von Radikalerweiterungen dartellbar ist: $\text{Q}\subset K_1\subset K_2\subset ...\subset K_n=V$

Endantwort

Ein Polynom ist durch Radikale auflösbar, wenn seine Galois-Gruppe auflösbar ist.

Satz von Abel

Es gibt Polynome von Grad $\ge 5$, die nicht lösbar sind. Diese Polynome sind die Polynome mit Grad größer $5$ die die Symmetrische Gruppe als Galoisgruppe haben.

Alle oder keine Nullstelle darstellbar.

Sei $f$ ein irreduzibles $\text{Q}$-Polynom. Ist eine Nullstelle durch Radikale darstellbar, dann auch alle anderen

Aufgaben

Symmetrische Gruppe

Finde ein Irreduzibles Polynom der Form $f(x)=x^5+ax+b$, welches nicht auflösbar ist. $f$ ist nicht auflösbar, wenn seine Galoisgruppe $S_5$ ist. Das gilt, wenn $f$ drei reelle und zwei nicht-reelle Nullstellen hat. Suche also mit GeoGebra nach Polynomen von Grad 5, die 3 einfache Nullstellen haben.

• Erste Beobachtung: $a$ muss negativ sein, sonst gibt es nur eine Nullstelle.
• $b=-1$ führt nur zu lösbaren Polynomen
• $b=-2$ genauso
• $f(x)=x^5-3x+1$ sieht gut aus. Es ist nicht in $\text{Q}$ reduzibel. Wäre es reduzibel, dann müsste es die Nullstellen $1$ oder $-1$ haben.

lit_hadlockFieldTheoryIts2000