Solution (ODE)

Description

Eine Lösung ist eine Funktion, die eine Differentialgleichung löst.

In Physikalischen Fragestellung ist meist wichtig, wie sich ein System von einem bestimmten Startzustandentwickelt. Eine Lösung muss aber nicht notwendigerweise für eine bestimmten Startzustand existieren.

The following two definitions are essentially the same, but applied on Explicit differential equation and Implizite Differentialgleichung.

Definition für implizite DGLs

Eine Funktion $\gamma :I\to {\mathbb{K}}^n$ heißt Lösung einer Implizite Differentialgleichung, wenn gilt:

1. $I\subset \mathbb{R}$ ist ein Intervall mit nichtleerem Inneren
2. $\lambda \in C^k(I,{\mathbb{K}}^n)$
3. $(t,\lambda (t),{\lambda }^{\prime }(t),...,{\lambda }^{(k)}(t))\in U$ und F(t, \lambda(t), \lambda'(t), ..., \lambda^{(k)}(t))=0 \tag{1} für alle $t\in I$

Definition für explizite DGLs

Eine Funktion $\gamma :I\to {\mathbb{K}}^n$ heißt Lösung einer Expliziten Differentialgleichung, wenn gilt:

1. $I\subset \mathbb{R}$ ist ein Intervall mit nichtleerem Inneren
2. $\lambda \in C^k(I,{\mathbb{K}}^n)$
3. $(t,\lambda (t),{\lambda }^{\prime }(t),...,{\lambda }^{(k-1)}(t))\in U$ und \lambda^{(k)}=f(t, \lambda(t), \lambda'(t), ..., \lambda^{(k-1)}(t)) \tag{2} für alle $t\in I$