Autonomous ODE

Description

Eine autonome DGL ist eine Ordinary differential equation, bei der die Änderung der Phase nicht von der Zeit abhängig ist. Nicht-autonome Differentialgleichungssysteme lassen sich leicht in autonome Differentialgleichungssysteme umwandeln, sofern man die Zeit als eine zusätzliche Dimension oder Variable betrachten.

Normalerweise interessieren wir uns für Autonome Systeme, deren rechte Seite lipschitzstetig ist, da wir dann eindeutige Solution (ODE) garantieren können. In dem Fall lohnt es sich dann, von einer Trajektorie zu sprechen.

Definition

Sei $D\subseteq {\mathbb{K}}^d$ ein offener und zusammenhängeder Raum von Zuständen, $v:D\to {\mathbb{K}}^d$. Eine DGL der Form x' = v(x) \tag{1} heißt autonom.

This looks like a differential equation of order one but note that every ODE of higher order can be transformed into a system of order one.

Properties

Zeitliche Invarianz

Ist $\lambda (t)$ eine Lösung von $(1)$ dann ist auch $\lambda (t+a)$ eine Lösung von $(1)$

Theorem Trajectories are a disjoint partition

Nehme an, das System ist lipschitzstetig. Seien $\xi ,\nu \in D$ ein Startzustand. Dann bildet $\xi \sim \nu ⟺\text{Es existiert }\tau \in J_{\xi }\text{ mit }\nu =\phi (\tau ,\xi )$ eine Äquivalenzklasse. Die Menge aller Trajektorien, das Phase portrait bildet also eine Zerlegung von D.

Trajektorien eines Flusses haben genau eine der drei Formen:

1. DIe Trajektorie $T(\xi )$ ist einpunktig: $J_{\xi }=]-\infty ,\infty [$ und $\phi (\cdot ,\xi )$ ist konstant. $\xi$ wird ist dann ein kritischer Punkt und bestimmt sich aus der Lösung von $g(x)=0$
2. Die Trajektorie $T(\xi )$ ist eine geschlossene Kurve $J_{\xi }=]-\infty ,\infty [$ und $\phi (\cdot ,\xi )$ ist nicht konstant und periodisch.
3. Die Trajektorie $T(\xi )$ ist eine doppelpunktfreie Kurve ohne die Endpunkte Dann ist der Fluss $\varphi (\cdot ,\xi )$ injektiv

Solutions

Nulllösungen

Eine Lösung der autonomen DGL $(1)$ ist genau dann konstant mit dem Wert $c\in {\mathbb{K}}^d$, wenn $g(c)=0$

Stabilität um Ruhelagen

Sei $v:D\to {\mathbb{K}}^d$ differenzierbar und $v(\xi )=0$ eine Kritischer Punkt (Differentialgleichung) Berechne die Jacobimatrix $(Dg)(xi)$ und dessen Eigenwerte ${\mu }_1,...,{\mu }_k$

• Ist $Re{\mu }_j<0$ für alle Eigenwerte, dann ist $\xi$ eine asymptotisch stabile Kritischer Punkt (Differentialgleichung) von $(1)$
• Ist $Re{\mu }_j>0$ für einen Eigenwert, dann ist $\xi$ eine instabile Kritischer Punkt (Differentialgleichung) von $(1)$

Die Idee ist, dass sich die Phasengeschwindigkeiten einer Umgebung einer Ruhelage durch eine lineare Abbildung, die gerade die Ableitung in $\xi$ ist approximieren lässt. Somit lässt sich das Problem auf die Überprüfung der Stabilität eines Lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung reduzieren.