Quadratische Zahlringe

Beschreibung

Quadratische Zahlringe sind wichtige Beispiele für Ringe und insbesondere für Erzeugter Teilring Man definitiert diese mit einer speziellen Quadratwurzelfunktion auf den reellen Zahlen.

Dazu wählt man die Konvention, dass man bei positiven Reellen Zahlen die relle Wurzel verwendet. Für negative Wurzeln benutzt man die komplexe Wurzel mit positivem Imaginärteil

Achtung: Die Eigenschaft $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$ ist im allgemeinen nicht erfüllt, nämlich dann nicht, wenn $a,b$ negativ sind.

Eigenschaften

Berechnung

Sei $d\in \mathbb{Z}$ und $\sqrt{d}\in \mathbb{C}$ wie oben definiert.

1. Es gilt $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]=\{a+b\sqrt{d}:a,b\in \mathbb{Z}\}$

2. Ist $d\equiv 1\mathrm{mod}4$, dann gilt $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}(1+\sqrt{d})]=\{\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b\sqrt{d}:a,b\in \mathbb{Z},a\equiv b\mathrm{mod}2\}$¹

Footnotes

1. Gerkmann - Satz 3.5 ↩