Beschreibung
Ein Kettenbruch ist eine spezielle Darstellung einer reellen Zahl als “Adresse”. Jede rationale Zahl besitzt mindestens eine Darstellung als einen Kettenbruch.
Manche Autoren bezeichnen diese Art von Kettenbrcuh auch als Unitärer Kettenbruch, um ihn von dem n-ärer Kettenbruch zu unterschieden
Definition:
Ein Kettenbruch ist eine Darstellung einer rationalen Zahl in der folgenden Form: wir schreiben dann auch
Bemerkung: Für einen Kettenbruch im strengen Sinne fordert man üblicherweise . Dies ist weil dadurch jede irrationale Zahl eine eindeutige Beschreibung als Kettenbruch erhält.
Satz: Charakterisierung als Matrix
Sei . Eine Zahl hat den Kettenbruch genau dann wenn wobei die Projektive Äquivalenz ist. (zwei Vektoren sind äquivalent, wenn sie sich um einen nicht verschwindenden Faktor unterscheiden)
Beweis: Für eine positive Zahl gilt: wobei die Kettenbruchtransformation . Durch Induktion bekommt man dadurch Und ein Limitargument gibt uns